Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(4\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BC} \).

Chọn A

Gọi K là trung điểm của cạnh CD.

Vì M là trọng tâm tam giác BCD, nên M phải nằm trên đường trung tuyến BK.

Theo tính chất trọng tâm: \(\frac{{BM}}{{BK}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{MK}}{{BK}} = \frac{1}{3}\).

 Xét mặt phẳng (ABK):

Đường thẳng qua M song song với AB nằm trong mặt phẳng (ABK).

Mặt phẳng (ABK) cắt mặt phẳng (ACD) theo giao tuyến là đường thẳng AK.

Do đó, điểm N (giao điểm của đường thẳng qua M song song AB với (ACD)) phải nằm trên cạnh AK.

Áp dụng định lý Ta-lét:

Trong tam giác ABK, ta có \(MN\parallel AB\).

Theo định lý Ta-lét:

\(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{KM}}{{KB}}\)

Như đã tính ở trên, \(\frac{{KM}}{{KB}} = \frac{1}{3}\).

Vậy \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\).

Chọn C.

Điều kiện xác định: \({x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

\(y' = \frac{{2x - 2}}{{\left( {{x^2} - 2x} \right)\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Ta có bảng biến thiên: