Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M là trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng qua M song song với AB cắt mặt phẳng (ACD) tại N. Tính tỉ số \(\frac{{MN}}{{AB}}\).

Một doanh nghiệp sản xuất đồ gỗ nội thất cần mỗi ngày 5 khối gỗ để làm các sản phẩm nội thất. Chi phí một lần vận chuyển gỗ từ cơ sở cung cấp gỗ đến nơi sản xuất của doanh nghiệp là 8 triệu đồng, chi phí lưu kho tại doanh nghiệp của 1 khối gỗ là 200 ngàn đồng trên 1 ngày. Mỗi lần vận chuyển, gỗ sẽ được đưa đến đầu ngày làm việc và lượng gỗ được vận chuyển vừa đủ cho doanh nghiệp sử dụng từ ngày hôm đó cho đến lần vận chuyển tiếp theo. Hỏi doanh nghiệp cần vận chuyển gỗ mấy ngày một lần để chi phí trung bình trong một ngày là nhỏ nhất?

Một nhóm 12 bạn học sinh đặt mua 12 vé kề nhau trong một hàng có 12 ghế để xem bộ phim "Mưa Đỏ". Tuy nhiên, đến hôm đi xem phim thì 3 bạn bận đột xuất nên chỉ có 9 bạn gồm 4 bạn nam và 5 bạn nữ đi xem phim. Nhân viên rạp chiếu phim sắp xếp ngẫu nhiên cho 9 bạn vào 9 trong 12 ghế đã mua (mỗi bạn một ghế).

Trong một buổi tập luyện của lính đặc công, một chiến sỹ cần phối hợp bơi và chạy bộ để từ điểm \(A\) ở bờ sông bên này đến điểm \(B\) về phía hạ lưu của bờ sông bên kia (tham khảo hình vẽ bên dưới). Chiến sỹ dự định bơi thẳng từ điểm \(A\) đến một điểm thuộc đoạn \(HB\) sau đó chạy từ điểm đó về điểm \(B\). Biết \(AH = 300\;{\rm{m}},HB = 900\;{\rm{m}}\), vận tốc dòng nước là \(1\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\), vận tốc bơi của chiến sỹ đối với nước là \(1\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) và vận tốc chạy trên bờ của chiến sỹ là \(3\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\). Hỏi chiến sỹ cần ít nhất bao nhiêu giây đề hoàn thành kế hoạch trên? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ( đơn vị trên mỗi trục là $10km$), hai khinh khí cầu $A$ và $B$ bay với vectơ vận tốc lần lượt là $\overrightarrow{{{v}_{a}}}=\left( 1;2;0 \right)$ và $\overrightarrow{{{v}_{b}}}=\left( -2;3;0 \right)$ ( đơn vị là km/giờ). Tại thời điểm $t=0$, vị trí của khinh khí cầu A là $M\left( 5;4;2 \right)$ và vị trí của khinh khí cầu B là $N\left( 6;5;3 \right)$. Hai khinh khí cầu sẽ bay trong $10$ giờ tiếp theo và dừng lại.

Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng

Một công viên nhỏ trong một khu dân cư có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là \[40m\] và chiều dài \[60m\]. Ban quản lý lát gạch phần đất dạng parabol và hình tròn bán kính \[10m\] như hình vẽ. Phần còn lại sẽ trồng cỏ và cây xanh. Ban quản lý dự định làm một đoạn đường nhỏ nối hai phần lát gạch. Biết \[AB = 20m\], \[OH = 30m\]. Hỏi chiều dài ngắn nhất của đoạn đường đó là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục)?