Cho tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\), biết \(BD = CE\).
a) Chứng minh: \(AG \bot BC\);
b) Cho \(M\) là một điểm nằm trong tam giác.
Chứng minh: \(MA + MB + MC > \frac{{AB + BC + AC}}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\), biết \(BD = CE\).
a) Chứng minh: \(AG \bot BC\);
b) Cho \(M\) là một điểm nằm trong tam giác.
Chứng minh: \(MA + MB + MC > \frac{{AB + BC + AC}}{2}\).
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 7 (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) (do \(BD;\,\,CE\) là đường trung tuyến).
Suy ra \(BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE\) mà \(BD = CE\) nên \(BG = CG\).
Lại có: \(BD = BG + GD\); \(CE = CG + GE\) nên \(GD = GE\).
Xét tam giác \(EGB\) và tam giác \(DGC\) có:
\(BG = GC\) (chứng minh trên)
\(\widehat {BGE} = \widehat {CGD}\) (hai góc đối đỉnh)
\(GD = GE\) (chứng minh trên)
Do đó, \(\Delta EGB = \Delta DGC\) (c.g.c)
Suy ra, \(EB = CD\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(E\) là trung điểm của \(AB\); \(D\) là trung điểm của \(AC\).
Do đó, \(AB = AC\,\,\left( {AB = 2EB;\,\,AC = 2CD} \right)\).
Kéo dài \(AG\) cắt \(BC\) tại \(H\).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AH\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) (ba đường trung tuyến trong tam giác đồng quy).
Do đó, \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BH = HC\).
Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:
\(AB = AC\) (chứng minh trên)
\(BH = HC\) (chứng minh trên)
Cạnh \(AH\) chung
Do đó, \(\Delta AHB = \Delta AHC\) (c.c.c)
Suy ra, \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = 180^\circ \), do đó \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \).
Suy ra \(AH \bot BC\) hay \(AG \bot BC\) (đpcm)
b) Xét tam giác \(AMB\) có: \(MA + MB > AB\) (bất đẳng thức tam giác) (1)
Xét tam giác \(AMC\) có: \(AM + MC > AC\) (bất đẳng thức tam giác) (2)
Xét tam giác \(BMC\) có: \(MB + MC > BC\) (bất đẳng thức tam giác) (3)
Cộng vế theo vế (1); (2); (3) ta được:
\(MA + MB + MA + MC + MB + MC > AB + AC + BC\)
Suy ra, \(2MA + 2MB + 2MC > AB + AC + BC\)
Hay \(2\left( {MA + MB + MC} \right) > AB + AC + BC\).
Do đó \(MA + MB + MC > \frac{{AB + AC + BC}}{2}\) (đpcm)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi \(z;\,\,y;\,\,z\) (quyển sách) lần lượt là số sách ba lớp 7A; 7B; 7C góp được\(\,\,\left( {x;\,\,y;\,\,z \in \mathbb{N}} \right)\).
Vì tổng số sách lớp 7A và 7B góp được hơn số sách lớp 7C góp được là 40 quyển nên \(x + y - z = 40\).
Mặt khác, số sách ba lớp 7A; 7B; 7C góp được tỉ lệ thuận với \(6;\,\,4;\,\,5\) nên ta có: \(\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y - z}}{{6 + 4 - 5}} = \frac{{40}}{5} = 8\)
Ta có: \(\frac{x}{6} = 8\) nên \(x = 8\,\,.\,\,6 = 48\) (thỏa mãn);
\(\frac{y}{4} = 8\) nên \(y = 8\,\,.\,\,4 = 32\) (thỏa mãn);
\(\frac{z}{5} = 8\) nên \(z = 8\,\,.\,\,5 = 40\) (thỏa mãn)
Vậy số sách ba lớp 7A; 7B; 7C góp được lần lượt là 48 quyển; 32 quyển; 40 quyển.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn.
Cạnh \(AB\) đối diện với \(\widehat C\);
Cạnh \(AC\) đối diện với \(\widehat B\);
Cạnh \(BC\) đối diện với \(\widehat A\).
Vì \[\widehat A < \widehat B < \widehat C\,\,\left( {50^\circ < 60^\circ < 70^\circ } \right)\] nên \(BC < AC < AB\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập