Cho tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\), biết \(BD = CE\).

a) Chứng minh: \(AG \bot BC\);

b) Cho \(M\) là một điểm nằm trong tam giác.

Chứng minh: \(MA + MB + MC > \frac{{AB + BC + AC}}{2}\).

a) Ta có: \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) (do \(BD;\,\,CE\) là đường trung tuyến).

Suy ra \(BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE\) mà \(BD = CE\) nên \(BG = CG\).

Lại có: \(BD = BG + GD\); \(CE = CG + GE\) nên \(GD = GE\).

Xét tam giác \(EGB\) và tam giác \(DGC\) có:

\(BG = GC\) (chứng minh trên)

\(\widehat {BGE} = \widehat {CGD}\) (hai góc đối đỉnh)

\(GD = GE\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta EGB = \Delta DGC\) (c.g.c)

Suy ra, \(EB = CD\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(E\) là trung điểm của \(AB\); \(D\) là trung điểm của \(AC\).

Do đó, \(AB = AC\,\,\left( {AB = 2EB;\,\,AC = 2CD} \right)\).

Kéo dài \(AG\) cắt \(BC\) tại \(H\).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AH\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) (ba đường trung tuyến trong tam giác đồng quy).

Do đó, \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BH = HC\).

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:

\(AB = AC\) (chứng minh trên)

\(BH = HC\) (chứng minh trên)

Cạnh \(AH\) chung

Do đó, \(\Delta AHB = \Delta AHC\) (c.c.c)

Suy ra, \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = 180^\circ \), do đó \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \).

Suy ra \(AH \bot BC\) hay \(AG \bot BC\) (đpcm)

b) Xét tam giác \(AMB\) có: \(MA + MB > AB\) (bất đẳng thức tam giác)     (1)

Xét tam giác \(AMC\) có: \(AM + MC > AC\) (bất đẳng thức tam giác)        (2)

Xét tam giác \(BMC\) có: \(MB + MC > BC\) (bất đẳng thức tam giác)        (3)

Cộng vế theo vế (1); (2); (3) ta được:

\(MA + MB + MA + MC + MB + MC > AB + AC + BC\)

Suy ra, \(2MA + 2MB + 2MC > AB + AC + BC\)

Hay \(2\left( {MA + MB + MC} \right) > AB + AC + BC\).

Do đó \(MA + MB + MC > \frac{{AB + AC + BC}}{2}\) (đpcm)