Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Xét phương án a:

Vì: \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OB(gt)\\OC \bot OA\left( {gt} \right)\end{array} \right.\)

Mà \(OB \cap OA = O \in \left( {OAB} \right)\).

Nên \(OC \bot \left( {OAB} \right) \Rightarrow OC \bot AB\). Vậy a đúng.

Xét phương án b và c:

Vì: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CH\\AB \bot OC\,(cmt)\\CH \cap OC = C \in \left( {COH} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AB \bot \left( {COH} \right)\)\( \Rightarrow AB \bot OH\).

Lại vì: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot OA\left( {OA \bot \left( {COB} \right)} \right)\\OA \cap AH = A \in \left( {AOH} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {AOH} \right) \Rightarrow BC \bot OH\)

Ngoài ra \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot CB\\OH \bot AB\\CB \cap AB = B \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\).

Vì vậy b,c đúng.

Hơn nữa, xét phương án d, vì \(OH \bot OA\) và \(OH \bot AB\) thì \(OH \bot \left( {OAB} \right)\). Trái với giả thiết \(OC \bot \left( {OAB} \right)\) nên d sai.