Cho tam giác \(ABC\) có \(D\) là trung điểm của \(BC\). Trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) không chứa điểm \(A\), vẽ tia \(Bx\parallel AC,\,\,Bx\) cắt \(AD\) ở \(E\).

a) Chứng minh \(AC = EB\).

b) Trên tia đối của tia \(AC\), lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AC\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(EF\). Chứng minh \(\widehat {FAI} = \widehat {IBE}\).

c) Chứng minh \(\Delta AIF = \Delta BIE\).

a) Ta có \(AC\parallel BE\) suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {DBE}\) (hai góc so le trong)

Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta EDB\) có:

\(\widehat {ACD} = \widehat {DBE}\) (chứng minh trên)

\(CD = BD\) (vì \(D\) là trung điểm của \(BC\))

\(\widehat {ADC} = \widehat {EDB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó \(\Delta ADC = \Delta EDB\) (g.c.g)

Suy ra \(AC = EB\) (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có \(AF = AC\) (giả thiết) mà \(AC = EB\) (chứng minh trên)

Suy ra \(AF = BE\)

Vì \(AC\parallel BE\) (giả thiết) và \(F \in AC\) suy ra \(AF\parallel BE\).

Do đó \(\widehat {FAI} = \widehat {IBE}\) (hai góc so le trong)

c) Xét \(\Delta AIF\) và \(\Delta BIE\) có:

\(\widehat {FAI} = \widehat {IBE}\) (chứng minh trên)

\(AF = BE\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AFI} = \widehat {BEI}\) (\(AC\parallel BE\), hai góc so le trong)

Do đó \(\Delta AIF = \Delta BIE\) (c.g.c)