Cho tam giác \[ABC\] có \[AB = AC\]. Lấy điểm \[K\] nằm trong tam giác sao cho \(KB = KC\).

a) Chứng minh \(\Delta ABK = \Delta ACK\).

b) Kẻ \(KP\) vuông góc với \[AB\] \[\left( {P \in AB} \right)\], \(KQ\) vuông góc với \[AC\]\[\left( {Q \in AC} \right)\]. Chứng minh \(AK\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PQ\).

c) Chứng minh \(PQ\,{\rm{//}}\,BC\).

a) Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta ACK\) có:

\[AB = AC\] (do \[\Delta ABC\] cân tại \(A\));

\(AK\) là cạnh chung;

\(KB = KC\) (giả thiết).

Do đó \(\Delta ABK = \Delta ACK\) (c.c.c).

Suy ra \({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (hai góc tương ứng)

Từ đó ta có \(AK\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

b) Xét \(\Delta APK\) và \(\Delta AQK\) có:

\(\widehat {APK} = \widehat {AQK} = 90^\circ \);

\(AK\) là cạnh chung;

\({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (chứng minh câu a).

Do đó \(\Delta APK = \Delta AQK\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \(PA = QA\) và \(PK = QK\) (các cặp cạnh tương ứng)

Từ đó ta có hai điểm \(A\) và \(K\) cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(PK\).

Vậy \(AK\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PQ\).

c) Vì \(AK\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PQ\) (chứng minh câu b)

Nên \(AK \bot PQ\)        (1)

Ta có \(AB = AC\) (do \[\Delta ABC\] cân tại \(A\)) và \(KB = KC\) (giả thiết)

Do đó \(A\) và \(K\) cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Hay \(AK\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Suy ra \(AK \bot BC\)     (2)

Từ (1) và (2) ta có \(PQ\,{\rm{//}}\,BC\).