Cho \(x + y + z = 1\) và biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + z}} \cdot \frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + x}} \cdot \frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{zx + y}}.\) Chứng minh rằng giá trị biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào biến giá trị của biến.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Khẳng định (I) đúng

Khẳng định (II) sai. Phát biểu đúng là: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông ấy đồng dạng.

Hướng dẫn giải

a) Với \(x \ne 0,\,\,x \ne  \pm 1\), ta có:

\[K = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \left[ {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \frac{{4x + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x} = \frac{{x + 3}}{x}.\]

Vậy với \(x \ne 0,\,\,x \ne  \pm 1\) thì \(K = \frac{{x + 3}}{x}.\)

b) Ta có \(K = \frac{{x + 3}}{x} = 1 + \frac{3}{x}.\)

Để biểu thức \(K\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{3}{x} \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \)Ư\[\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 3} \right\}\] và \(x \ne 0,\,\,x \ne  \pm 1\),

Do đó, \(x =  \pm 3\) thì biểu thức \(K\) nhận giá trị nguyên.