Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh bằng \[1\]và \[SA \bot \left( {ABC} \right)\].Gọi \[M,N\] là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh \[SB,SC\]sao cho \[SM = 3MB,NC = 2NS\]. Biết rằng \[AN\] vuông góc với \[CM\]. Tính thể tích khối chóp \[S.ABC\] (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện (vị trí A) và phải đi qua các địa điểm B, C, D để phát thư (mỗi địa điểm chỉ qua một lần) rồi quay lại bưu điện. Sơ đồ các địa điểm cần đi và thời gian (đơn vị: phút) di chuyển qua lại giữa các điểm được mô tả ở hình vẽ bên dưới. Thời gian đi ít nhất của người đưa thư là bao nhiêu phút?

Nhà máy \(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P(x) = 90 - 0,01{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C(x) = 100 + 15x\) (triệu đồng) (gồm \(100\) triệu đồng chi phí cố định và \(15\) triệu đồng chi phí cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi \(A\) bán cho \(B\) bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất?

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\), \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\), được gắn vào hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ. Biết cạnh \(SA = AB = 3\sqrt 2 \) và điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\). Khi đó:

Khảo sát một nhóm 50 học sinh ở một trường THPT người ta thấy rằng: Có 20 học sinh giỏi Ngoại ngữ, 15 học sinh giỏi Tin học, 10 học sinh giỏi cả Ngoại ngữ và Tin học. Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ nhóm 50 học sinh ở trên.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A,B,C\) biết \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;\, - 3;\,3} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;\,3;\, - 9} \right)\). Điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) thỏa mãn \(2BM = MC\). Gọi \(\left( {a;\,b;\,c} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow {AM} \). Tính \(26a + b - 2001c\).

Một chiếc Container được buộc vào móc \(S\) của một chiếc cần cẩu bởi bốn sợi dây cáp không giãn \(SA,\,\,SB,\,\,SC,\,\,SD\) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc bằng \(45^\circ \) (tham khảo hình vẽ bên dưới). Chiếc cần cẩu kéo chiếc Container lên theo phương thẳng đứng. Tính cường độ lực căng (đơn vị kN) của mỗi sợi dây cáp, biết rằng các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} ,\,\,\overrightarrow {{F_4}} \) trên mỗi sợi dây cáp đều có độ lớn bằng nhau và trọng lượng của chiếc container bằng 80 kN (Kết quả làm tròn đến 1 chữ số sau dấu phẩy).