Nhà máy \(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P(x) = 90 - 0,01{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C(x) = 100 + 15x\) (triệu đồng) (gồm \(100\) triệu đồng chi phí cố định và \(15\) triệu đồng chi phí cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi \(A\) bán cho \(B\) bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất?

a) Sai.

Do \(SA = SB = AB = 3\sqrt 2 \) nên \(\Delta SAB\) đều, có trọng tâm \(G\)\( \Rightarrow BG = 3\sqrt 2 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).

b) Đúng.

c) Sai.

Hình vuông \(ABCD\) có \(AB = 3\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 \times \sqrt 2 }}{2} = 3 \Rightarrow C\left( {0;3;0} \right)\).

d) Đúng.

Ta có: \(A\left( {0; - 3;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right)\), \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} - {3^2}} = 3 \Rightarrow S\left( {0;0;3} \right)\).

Suy ra, tọa độ trọng tâm: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 + 3 + 0}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{ - 3 + 0 + 0}}{3} = - 1\\{z_G} = \frac{{0 + 0 + 3}}{3} = 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1; - 1;1} \right)\).

Gọi \(G'\) là điểm đối xứng với \(G\) qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)\( \Rightarrow G'\left( { - 1; - 1;1} \right)\).

Xét \(KG + KB = KG' + KB \ge G'B\), dấu bằng xảy ra khi ba điểm \(B\), \(K\), \(G'\) thẳng hàng.

Khi đó: \(\overrightarrow {G'K} = \left( {1;m + 1;n - 1} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {G'B} = \left( {4;1; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{{m + 1}}{1} = \frac{{n - 1}}{{ - 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{3}{4}\\n = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {m^2} + {n^2} = \frac{9}{8}\).