Tìm \(m\) để phương trình \(\sqrt {{x^2} + mx + 2}  = 2x + 1\) có hai nghiệm phân biệt.

. \(Pt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{1}{2}\\3{x^2} + (4 - m)x - 1 = 0\quad \left( * \right)\end{array} \right.\).

Phương trình đã cho có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng \( - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \) đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + (4 - m)x - 1\) trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Xét hàm số \(y = 3{x^2} + (4 - m)x - 1\) trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\). Ta có \( - \frac{b}{{2a}} = \frac{{m - 4}}{6}\)

+ TH1: Nếu \(\frac{{m - 4}}{6} \le  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m \le 1\) thì hàm số đồng biến trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\) nên \(m \le 1\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH2: Nếu \(\frac{{m - 4}}{6} >  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m > 1\):

Ta có bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + \left( {4 - m} \right)x - 1\) trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow y\left( { - \frac{1}{2}} \right) \ge 0 > y\left( {\frac{{m - 4}}{6}} \right) \Leftrightarrow \frac{{2m - 9}}{4} \ge 0 > \frac{1}{{12}}\left( { - {m^2} + 8m - 28} \right)\) (1)

Vì \( - {m^2} + 8m - 28 =  - {(m - 4)^2} - 12 < 0,\forall m\) nên (1) \( \Leftrightarrow 2m - 9 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{9}{2}\) (thỏa mãn \(m > 1\) )

Vậy \(m \ge \frac{9}{2}\) là giá trị cần tìm.