Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí \(A\) cách bờ biển một khoảng cách. \(AB = 6\;km\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí \(C\) cách \(B\) một khoảng là \(15\;km\).

Để nhận lương thực và các nhu yếu phẩm mỗi tháng người canh hải đăng phải đi xuống máy từ \(A\) đến bến tàu \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(10\;km/h\) rồi đi xe gắn máy đến \(C\) với vận tốc \(30\;km/h\) (xem hình vẽ).

Tính tổng quảng đường người đó phải đi biết rằng thời gian đi từ \(A\) đến \(C\) là 1h14 phút.

\(\sqrt {2{x^2} - 2x - 2m}  = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{\rm{ }}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 2x - 2m = {(x - 2)^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} + 2x - 4 = 2m(*)\end{array}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)

Xét hàm số \(f(x) = {x^2} + 2x - 4,(x \ge 2)\)

Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow (*)\) có nghiệm \(x \ge 2 \Leftrightarrow 2m \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 2\).

\(\sqrt {2{x^2} - 2mx - 4}  = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 2mx - 4 = {x^2} - 2x + 1\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 2(m - 1)x - 5 = 0(*)\end{array}\end{array}} \right.\)

Do pt \((*)\) có \(ac =  - 5 < 0\) nên pt \((*)\) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Nên để pt đã cho có nghiệm thì pt \((*)\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < 1 \le {x_2} \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \le 0 \Leftrightarrow  - 5 - 2(m - 1) + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \ge  - 1.{\rm{ }}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi \(m \in [ - 1; + \infty )\).