Trong không gian \[Oxyz,\] cho \(A\left( {2\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 3 + 2t}\\{z = - 1 + 3t}\end{array}} \right..\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\), vuông góc với đường thẳng \(d\) và cắt trục hoành. Tọa độ một vectơ chỉ phương \(\vec u\) của đường thẳng \(\Delta \) là:    

Xét vectơ \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1\,;\,\,3\,;\,\, - 1} \right)\). Vì \(\left( P \right)\) song song với \({d_1},\,\,{d_2}\) nên \(\overrightarrow {{n_2}}  =  - \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Lại có \(\vec n = \left( {1\,;\,\,a\,;\,\,b} \right)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\), do đó ta chọn \(\vec n = \left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,1} \right)\).

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng: \(x - 3y + z + c = 0.\)

Lấy \({M_1}\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right) \in {d_1},\,\,{M_2}\left( {1\,;\,\,1\,;\,\, - 2} \right) \in {d_2}\).

Có \(d\left( {{d_1}\,,\,\,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {{d_2}\,,\,\,\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {{M_1}\,,\,\,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {{M_2}\,,\,\,\left( P \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 3 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 + c} \right|}}{{\sqrt {11} }} = 2 \cdot \frac{{\left| {1 - 3 - 2 + c} \right|}}{{\sqrt {11} }}\)\[ \Leftrightarrow \left| {8 + c} \right| = 2 \cdot \left| { - 4 + c} \right|\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 + c = 2\left( { - 4 + c} \right)}\\{8 + c = 2\left( {4 - c} \right)}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 16\,\,(TM)}\\{c = 0\,\,(L)}\end{array}} \right.\).

Do đó \(\left( P \right):x - 3y + z + 16 = 0 \Rightarrow a =  - 3,\,\,b = 1,\,\,c = 16\). Vậy \(a + b + c = 14\). Chọn A.