Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - z + 5 = 0\) và hai điểm \(A\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,4} \right),B\left( {2\,;\,\,0\,;\,\,0} \right).\) Phương trình mặt cầu đi qua \[O,\,\,A,\,\,B\] và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:    

Xét vectơ \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1\,;\,\,3\,;\,\, - 1} \right)\). Vì \(\left( P \right)\) song song với \({d_1},\,\,{d_2}\) nên \(\overrightarrow {{n_2}}  =  - \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Lại có \(\vec n = \left( {1\,;\,\,a\,;\,\,b} \right)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\), do đó ta chọn \(\vec n = \left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,1} \right)\).

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng: \(x - 3y + z + c = 0.\)

Lấy \({M_1}\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right) \in {d_1},\,\,{M_2}\left( {1\,;\,\,1\,;\,\, - 2} \right) \in {d_2}\).

Có \(d\left( {{d_1}\,,\,\,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {{d_2}\,,\,\,\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {{M_1}\,,\,\,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {{M_2}\,,\,\,\left( P \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 3 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 + c} \right|}}{{\sqrt {11} }} = 2 \cdot \frac{{\left| {1 - 3 - 2 + c} \right|}}{{\sqrt {11} }}\)\[ \Leftrightarrow \left| {8 + c} \right| = 2 \cdot \left| { - 4 + c} \right|\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 + c = 2\left( { - 4 + c} \right)}\\{8 + c = 2\left( {4 - c} \right)}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 16\,\,(TM)}\\{c = 0\,\,(L)}\end{array}} \right.\).

Do đó \(\left( P \right):x - 3y + z + 16 = 0 \Rightarrow a =  - 3,\,\,b = 1,\,\,c = 16\). Vậy \(a + b + c = 14\). Chọn A.