Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} + {y^2} - 2(m + 2)x + 4my + 19m - 6 = 0\) là một phương trình đường tròn.

Phương trình đường tròn \((C)\) tâm \(I(a;b)\) bán kính \(R\) có dạng: \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\). Do \((C)\) tiếp xúc \(Ox,Oy \Leftrightarrow R = |a| = |b|\).

\( + \) Trường hợp 1: Nếu \(a = b\)

\((C):{(x - a)^2} + {(y - a)^2} = {a^2}\). Do \((C)\) qua \(A(1;1)\) suy ra

\({(1 - a)^2} + {(1 - a)^2} = {a^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2 - \sqrt 2 }\\{a = 2 + \sqrt 2 }\end{array}} \right.\). Vậy có 2 đường tròn:

\(\left( {{C_1}} \right):{(x - 2 + \sqrt 2 )^2} + {(y - 2 + \sqrt 2 )^2} = {(2 - \sqrt 2 )^2}\)

\(\left( {{C_2}} \right):{(x - 2 - \sqrt 2 )^2} + {(y - 2 - \sqrt 2 )^2} = {(2 + \sqrt 2 )^2}\)

+ Trường hợp 2: Nếu \(a =  - b\)

(C): \({(x - a)^2} + {(y + a)^2} = {a^2}\). Do \((C)\) qua \(A(1;1)\) suy ra

\({(1 - a)^2} + {(1 + a)^2} = {a^2}\) (vô nghiệm)

Gọi tâm đường tròn là \(I(3t + 11;t) \in \Delta \). Ta có: \(IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\)

\( \Leftrightarrow {(3t + 11 - 2)^2} + {(t - 3)^2} = {(3t + 11 + 1)^2} + {(t - 1)^2} \Leftrightarrow 22t =  - 55 \Leftrightarrow t =  - \frac{5}{2}.\)

Suy ra \(I\left( {\frac{7}{2}; - \frac{5}{2}} \right)\); bán kính đường tròn \(R = IA = \sqrt {{{\left( {2 - \frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {3 + \frac{5}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{65}}{2}} \).

Phương trình đường tròn \((C):{\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{65}}{2}\).