Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:

Hàm số \[y = f\left( {{x^2} - 2} \right)\] nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Quan sát bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 2\end{array} \right.\).

Với \(y = f\left( {{x^2} - 2} \right)\) ta có \(y' = 2x \cdot f'\left( {{x^2} - 2} \right)\).

Vậy \(y' = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 0\\f\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2 = 0\\{x^2} - 2 =  \pm 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt 2 \\x =  \pm 2\end{array} \right.\).

Từ bảng biến thiên của hàm số \[y = f\left( x \right)\] ta thấy \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < x < 0\\x > 2\end{array} \right.\).

Vậy \(f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < {x^2} - 2 < 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < {x^2} < 2\\{x^2} > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < \sqrt 2 \\ - \sqrt 2  < x < 0\\x > 2\\x <  - 2\end{array} \right.\).

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu \(y'\) ta được \(y' < 0\) \(\forall x \in \)\(\left( { - 2; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {0;\sqrt 2 } \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Chọn C.