Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 2.\) Tham số \(m\) thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện dưới đây để bất phương trình \(f\left( {3x + 1} \right) + 9{x^2} - 6x + 1 \le m\) đúng với mọi \[x \in \left[ {0\,;1} \right]\]?    

 Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 9.\)

Xét hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {3x + 1} \right) + 9{x^2} - 6x + 1\] ta có \(g'\left( x \right) = 3f'\left( {3x + 1} \right) + 18x - 6\).

Suy ra \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {3x + 1} \right) =  - 2\left( {3x + 1} \right) + 4.\)                          (1)

Đặt \(t = 3x + 1\) khi đó mọi \(x \in \left[ {0\,;\,\,1} \right] \Rightarrow t \in \left[ {1\,;\,\,4} \right]\), khi đó (1) trở thành

\(f'\left( t \right) =  - 2t + 4 \Leftrightarrow 3{t^2} - 12t + 9 =  - 2t + 4 \Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{5 - \sqrt {10} }}{3} \notin \left[ {1\,;\,\,4} \right]}\\{t = \frac{{5 + \sqrt {10} }}{3} \in \left[ {1\,;\,\,4} \right]}\end{array}} \right.\).

Ta có \(g\left( 1 \right) = 3\,;\,\,g\left( 4 \right) = 10\,;\,\,g\left( {\frac{{5 + \sqrt {10} }}{3}} \right) \approx 0,3 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1\,;\,\,4} \right]} g\left( t \right) = 10 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,\,1} \right]} g\left( x \right) = 10\).

Do đó để \(f\left( {3x + 1} \right) + 9{x^2} - 6x + 1 \le m\) thì \(m \ge 10\). Chọn C.