Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} - 2x + \frac{3}{2}\) và \(f\left( 0 \right) = 0.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 2021\,;\,\,2022} \right)\) để hàm số \[g\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m} \right|\] có đúng 3 điểm cực trị?    

Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{{{\left[ {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m} \right]}^\prime } \cdot \left[ {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m} \right]}}{{\left| {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m} \right|}}\).

Suy ra \[g'\left( x \right) = \frac{{f'\left( x \right) \cdot \left[ {2f\left( x \right) + 1} \right] \cdot \left[ {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m} \right]}}{{\left| {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m} \right|}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = 0}\\{2f\left( x \right) + 1 = 0}\\{{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m = 0\;\left( * \right)}\end{array}} \right..\]

Dễ thấy \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm là \(x = 1\,;\,\,x = 3.\)

Và \[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{6} - {x^2} + \frac{3}{2}x + C\] mà \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0.\)

Do đó phương trình \(2f\left( x \right) + 1 = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow (*)\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = 1 - 4m \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{4}.\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left( { - 2021\,;\,\,2022} \right)\) suy ra \(m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\, \ldots ;\,\,2021} \right\}.\) Chọn C.