Tìm số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số $y = \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}$ nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{\mathrm{\pi }}{6})$. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ___

 

Đáp án đúng là "12"

Phương pháp giải

Sử dụng định lý mở rộng về quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc \(K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc \(K\).

Lời giải

Xét hàm số \(y = \frac{{m - {\rm{sin}}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\) trên \(\left( {0;\frac{\pi }{6}} \right)\).

Ta có hàm số \(y = \frac{{m - {\rm{sin}}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\) xác định và liên tục \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{6}} \right)\).

\(y' = \frac{{ - \cos x.{{\cos }^2}x - \left( {m - \sin x} \right)2.\cos x.\left( { - {\rm{sin}}x} \right)}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x}} = \frac{{ - 1 + 2m{\rm{sin}}x - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x}}\)

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{6}} \right)\) thì

\(y' \le 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow  - 1 + 2m{\rm{sin}}x - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x \le 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{6}} \right)\) (1) vì \({\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{6}} \right)\).

Đặt \(t = {\rm{sin}}x,t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\). Khi đó (1) \(\begin{array}{*{20}{c}}{ \Leftrightarrow  - {t^2} + 2mt - 1 \le 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow m \le \frac{{{t^2} + 1}}{{2t}},\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 1}}{{2t}},\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{2\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{4{t^2}}} < 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

BBT

Dựa vào bảng biến thiên, để \(m \le \frac{{{t^2} + 1}}{{2t}},\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì \(m \le \frac{5}{4}\).

Mà \(m\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) nên có 12 giá trị của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.