Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 2025;2025} \right)\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - x + m} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) là

   

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp: Cho \(y = f\left( u \right);u = u\left( x \right)\). Khi đó \({y_x}\;' = f'\left( u \right).u'\left( x \right)\).

Sử dụng định lý quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(K\). Nếu \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\). Nếu \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\).

Lời giải

\(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - x + m} \right)\)

\(g'\left( x \right) = \left( {2x - 1} \right).f'\left( {{x^2} - x + m} \right)\).

Để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - x + m} \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\) thì

\(g'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right) \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right).f'\left( {{x^2} - x + m} \right) \le 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\).

Mà \(2x - 1 < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) nên \(f'\left( {{x^2} - x + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - x + m \le 1}\\{{x^2} - x + m \ge 4}\end{array},\forall x \in \left( { - 1;0} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 \le - {x^2} + x}\\{m - 4 \ge - {x^2} + x}\end{array},\forall x \in \left( { - 1;0} \right)} \right.} \right.\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = - {x^2} + x\) trên \(\left( { - 1;0} \right)\)

\(h'\left( x \right) = - 2x + 1 > 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) nên hàm số \(h\left( x \right) = - {x^2} + x\) đồng biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\).

BBT

Dựa vào bảng biến thiên, từ (*) suy ra \(m - 1 \le - 2 \vee m - 4 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - 1 \vee m \ge 4\).

Mà \(m\) là số nguyên thuộc khoảng \(\left( { - 2025;2025} \right)\) nên có 4045 giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.