Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right) = {(x+1)}^2{{(x-m)}^3 . )x+3)}^5$, với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-5; 5] để hàm số $g\left(x\right) = f\left(\left|x\right|\right)$ có 3 điểm cực trị (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án:  __

Đáp án đúng là "5"

Phương pháp giải

Xét từng trường hợp của tham số \(m\) và lập bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\), rồi dựa vào bảng biến thiên, biện luận giá trị \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 3 điểm cực trị.

Lời giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Suy ra \(g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right)\) là một số hữu hạn (số xác định).

Đồ thị hàm số \(f\left( {\left| x \right|} \right)\) được suy ra từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng cách bỏ đi phần đồ thị bên trái trục tung \((x < 0)\), lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục tung \(\left( {x \ge 0} \right)\) qua trục tung.

Xét hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(f'\left( x \right) = {(x + 1)^2}{(x - m)^3}.{(x + 3)^5}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow {(x + 1)^2}{(x - m)^3}.{(x + 3)^5} = 0 \Rightarrow x =  - {1_{\left( l \right)}} \vee x =  - {3_{\left( l \right)}} \vee x = m\)

Trường hợp 1: \(m \le 0\).

Khi đó, \(f'\left( x \right) > 0\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Suy ra hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) trên \(\mathbb{R}\) có đúng 1 cực trị (không thỏa yêu cầu bài toán).

BBT

Trường hợp 2: \(m > 0\).

Khi đó, \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = m > 0\). Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) như sau:

BBT

Suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) có đúng 3 cực trị (thỏa yêu cầu bài toán).

Mà \(m\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\) nên có 5 giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.