Một lối đi lại giữa hai tòa nhà có chiều dài 20 m. Người ta dự định lắp hai tấm kính hình chữ nhật có diện tích bằng nhau để che nắng, mưa cho lối đi. Khi đó, phần không gian bên trong lối đi có dạng hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) (tham khảo hình vẽ).

Biết chiều rộng tấm kính bằng chiều rộng lối đi và có giá trị thuộc đoạn \(\left[ {2;3} \right]\). Giá trị lớn nhất của thể tích không gian bên trong lối đi là:

 

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức \({\rm{AM}} - {\rm{GM}}\) cho hai số không âm \(a\) và \(b\), ta có \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow \sqrt {ab} \le \frac{{a + b}}{2}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a = b\)

Lời giải

Chiều rộng mỗi tấm kính là \(\frac{{56\sqrt 2 }}{{2.20}} = \frac{{7\sqrt 2 }}{5}\).

Gọi \(x\left( {\rm{m}} \right)\) là chiều rộng lối đi. Ta có \(x \in \left[ {2;3} \right]\).

Chiều cao vẽ từ \(A\) của tam giác \(ABC\) là \(\sqrt {{{\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{5}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4}} \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\sqrt {\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4}} .x\).

Để thể tích không gian bên trong lối là lớn nhất thì \({S_{ABC}}\) phải đạt giá trị lớn nhất.

Áp dụng bất đẳng thức \({\rm{AM}} - {\rm{GM}}\) cho hai số không âm \(\sqrt {\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4}} \) và \(\frac{x}{2}\), ta được

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\sqrt {\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4}} .x = \sqrt {\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4}} .\frac{x}{2} \le \frac{{\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{4}}}{2} = \frac{{49}}{{25}}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt {\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{x}{2} \Leftrightarrow \frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4} = \frac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow x = 2,8\).

Vậy để thể tích không gian bên trong lối là lớn nhất thì chiều rộng lối đi là \(2,8{\rm{\;m}}\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lập hàm số tổng chi phí lắp kính và lát sàn của lối đi theo biến là chiều rộng lối đi. Sau đó, tìm giá trị lớn nhất của hàm số vừa lập.

Lời giải

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{h} = \frac{{60}}{{20}} = 3\).

Gọi \(x\left( {\rm{m}} \right)\) là chiều rộng lối đi \((x > 0)\). Chiều cao của tam giác \(ABC\) là \(\frac{6}{x}\).

Chiều rộng mỗi tấm kính là \(AB = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{x}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{36}}{{{x^2}}}} = \frac{{\sqrt {{x^4} + 144} }}{{2x}}\).

Diện tích kính cần lắp là \(\frac{{\sqrt {{x^4} + 144} }}{{2x}}.20.2 = \frac{{20\sqrt {{x^4} + 144} }}{x}\).

Diện tích sàn lối đi là \(20x\)

Tổng chi phí lắp kính và lát sàn cho lối đi này là

\(\frac{{20\sqrt {{x^4} + 144} }}{x}.600 + 20x.280 = 12000\frac{{\sqrt {{x^4} + 144} }}{x} + 5600x = 1000.\left( {12\frac{{\sqrt {{x^4} + 144} }}{x} + 5,6x} \right)\) (nghìn đồng).

Xét hàm số \(C\left( x \right) = 12\frac{{\sqrt {{x^4} + 144} }}{x} + 5,6x\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\(C'\left( x \right) = 12.\frac{{\frac{{2{x^4}}}{{\sqrt {{x^4} + 144} }} - \sqrt {{x^4} + 144} }}{{{x^2}}} + 5,6 = 12.\frac{{{x^4} - 144}}{{{x^2}\sqrt {{x^4} + 144} }} + 5,6\)

\(C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12.\frac{{{x^4} - 144}}{{{x^2}\sqrt {{x^4} + 144} }} + 5,6 = 0 \Leftrightarrow x = 3\).

BBT

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị nhỏ nhất của \(C\left( x \right) = 12\frac{{\sqrt {{x^4} + 144} }}{x} + 5,6x\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là 76,8.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của tổng chi lắp kính và lát sàn cho lối đi này là \(76,8.1000 = 76800\) (nghìn đồng), tức là 76,8 triệu đồng.