Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(m\) là tung độ của điểm \(A\) thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\) cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại \(H,K\) và độ dài \(HK\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tích các giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải

\(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\). Do đó \(I\left( {1;2} \right)\).

Ta có: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

Gọi \(A\left( {{x_A};\frac{{2{x_A} - 1}}{{{x_A} - 1}}} \right)\) là điểm thuộc \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến \(\left( T \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(A\) là:

\(y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_A}} \right) + \frac{{2{x_A} - 1}}{{{x_A} - 1}}\).

\(H\)là giao điểm của \(\left( T \right)\) và TCĐ nên \(H\left( {1;\frac{{2{x_A}}}{{{x_A} - 1}}} \right);K\) là giao điểm của \(\left( T \right)\) và TCN nên \(K\left( {2{x_A} - 1;2} \right)\).

Do đó: \(HK = \sqrt {{{\left( {2{x_A} - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \frac{{2{x_A}}}{{{x_A} - 1}}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2{x_A} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 2}}{{{x_A} - 1}}} \right)}^2}} \)

\( = 2\sqrt {{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}} \)

Ta có: \({\left( {{x_A} - 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}.\frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}} = 2 \Rightarrow HK \ge 2\sqrt 2 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(HK\) là \(2\sqrt 2 \), đạt được khi:

\({\left( {{x_A} - 1} \right)^2} = \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} = 2 \Rightarrow {y_A} = 3 \Leftrightarrow m = 3}\\{{x_A} = 0 \Rightarrow {y_A} = 1 \Leftrightarrow m = 1}\end{array}} \right.\).

Tích các giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán là: \(3.1 = 3\).