Ba cầu thủ sút phạt đến 11 m, mỗi người đá một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là x, y và 0,6 (với x>y). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là 0,336. Xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn bằng $\frac{a}{b}$, trong đó  $\frac{a}{b}$ là một phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức T = a+b. (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án: ____

 

Đáp án đúng là "363"

Phương pháp giải

Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập. Xác suất để biến cố \(A\) và \(B\) cùng xảy ra là\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố "người thứ nhất ghi bàn", \(B\) là biến cố "người thứ hai ghi bàn", \(C\) là biến cố "người thứ ba ghi bàn".

Theo đề ta có \(P\left( A \right) = x;P\left( B \right) = y;P\left( C \right) = 0,6\).

Do đó \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - x;\,\,P\left( {\overline B } \right) = 1 - y;\,\,P\left( {\overline C } \right) = 1 - 0,6 = 0,4\).

Xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là \(P\left( {ABC} \right) = x.y.0,6 = 0,6xy\).

Xác suất để không có cầu thủ nào ghi bàn là

\(P\left( {\overline {ABC} } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B } \right).P\left( {\overline C } \right) = \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right).0,4\).

Xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là

\(1 - P\left( {\overline {ABC} } \right) = 1 - \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right).0,4\).

Theo đề ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,6xy = 0,336}\\{1 - \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right).0,4 = 0,976}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{xy = \frac{{14}}{{25}}}\\{x + y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vì \(x > y\) nên ta được \(x = 0,8;y = 0,7\).

Xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn là

\(\left( {1 - 0,8} \right).0,7.0,6 + 0,8.\left( {1 - 0,7} \right).0,6 + 0,8.0,7.\left( {1 - 0,6} \right) = \frac{{113}}{{250}}\).

Do đó \(a = 113;b = 250\). Vậy \(T = a + b = 113 + 250 = 363\).