Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), biết \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {2 - x} \right)\). Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Đáp án đúng là "14"

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp: Cho \(y = f\left( u \right);u = u\left( x \right)\). Khi đó \({y_x}\;' = f'\left( u \right).u'\left( x \right)\).

Sử dụng định lý mở rộng về quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc \(K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc \(K\).

Lời giải

\(y = f\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\)

\(y' = \left( {2x - 2m} \right)f'\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\)

Để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì

\(y' \le 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow \left( {2x - 2m} \right)f'\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right) \le 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) (*).

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(2x - 2m \ge 0 \Leftrightarrow x \ge m\).

Khi đó từ (*)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{{x^2} - 2mx + {m^2} + 1 \le 2,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{{x^2} - 2mx + {m^2} - 1 \le 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\,\,\,(1)}\end{array}} \right.\)

Giải (1):

Đặt \(g\left( x \right) = {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\).

Ta có nên \(g\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt là \(m - 1\) và \(m + 1\).

Để \(g\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì: 

Kết hợp với \(m \le 0\), ta được \( - \frac{1}{2} \le m \le 0\).

Trường hợp 2: \(2x - 2m \le 0 \Leftrightarrow x \le m\).

Khi đó từ (*)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \frac{1}{2}}\\{{x^2} - 2mx + {m^2} + 1 \ge 2,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \frac{1}{2}}\\{{x^2} - 2mx + {m^2} - 1 \ge 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\)

Giải (2):

Đặt \(g\left( x \right) = {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\).

Ta có nên \(g\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt là \(m - 1\) và \(m + 1\).

Để \(g\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 \ge \frac{1}{2}}\\{m + 1 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \frac{3}{2}}\\{m \le  - 1}\end{array}} \right.} \right.\).

Kết hợp với \(m \ge \frac{1}{2}\), ta được \(m \ge \frac{3}{2}\).

Tóm lại, \( - \frac{1}{2} \le m \le 0\) hoặc \(m \ge \frac{3}{2}\). Mà \(m\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\) nên \(m \in S = \left\{ {0;2;3;4;5} \right\}\).

Vậy tổng giá trị các phần tử của \(S\) là \(0 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14\).

Đáp án đúng là "8"

Phương pháp giải

Hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \({{\rm{\Delta }}_{f'\left( x \right)}} > 0\) (hai điểm cực trị là hai nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai \(f'\left( x \right) = 0\) ).

Sử dụng hệ thức Vi-et trong phương trình bậc hai: Giả sử phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1}\) và \({x_2}\). Khi đó ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\).

Lời giải

\(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 12} \right)x - m\).

\(y' = {x^2} - 2mx + m + 12\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + m + 12 = 0\).

Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 12} \right)x - m\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) khi phương trình

\({x^2} - 2mx + m + 12 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

\( \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - \left( {m + 12} \right) > 0 \Leftrightarrow m > 4 \vee m <  - 3\).

Theo định lí Vi - et, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{1} = 2m}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{m + 12}}{1} = m + 12}\end{array}} \right.\).

Ta có

\(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 4\sqrt {11}  \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \le 176 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \le 176 \Leftrightarrow {(2m)^2} - 4.\left( {m + 12} \right) \le 176\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 224 \le 0 \Leftrightarrow  - 7 \le m \le 8\).

Do đó \( - 7 \le m <  - 3 \vee 4 < m \le 8\). Mà \(m\) là số nguyên nên

\(S = \left\{ { - 7; - 6; - 5; - 4;5;6;7;8} \right\}\). Vậy số phần tử của \(S\) là 8.