Gọi S là tập hợp các giá trị dương của tham số m  để hàm số $y= \frac{1}{3}{x}^3 -m{x}^2+(m+12)x -m$ đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn $\left|x_1-x_2\right| \le 4\sqrt{11}$ . Tính số phần tử của S (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "8"

Phương pháp giải

Hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \({{\rm{\Delta }}_{f'\left( x \right)}} > 0\) (hai điểm cực trị là hai nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai \(f'\left( x \right) = 0\) ).

Sử dụng hệ thức Vi-et trong phương trình bậc hai: Giả sử phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1}\) và \({x_2}\). Khi đó ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\).

Lời giải

\(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 12} \right)x - m\).

\(y' = {x^2} - 2mx + m + 12\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + m + 12 = 0\).

Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 12} \right)x - m\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) khi phương trình

\({x^2} - 2mx + m + 12 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

\( \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - \left( {m + 12} \right) > 0 \Leftrightarrow m > 4 \vee m <  - 3\).

Theo định lí Vi - et, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{1} = 2m}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{m + 12}}{1} = m + 12}\end{array}} \right.\).

Ta có

\(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 4\sqrt {11}  \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \le 176 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \le 176 \Leftrightarrow {(2m)^2} - 4.\left( {m + 12} \right) \le 176\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 224 \le 0 \Leftrightarrow  - 7 \le m \le 8\).

Do đó \( - 7 \le m <  - 3 \vee 4 < m \le 8\). Mà \(m\) là số nguyên nên

\(S = \left\{ { - 7; - 6; - 5; - 4;5;6;7;8} \right\}\). Vậy số phần tử của \(S\) là 8.