Một chiếc xe hơi công thức 1 khi tăng tốc có thể đạt tới tốc độ lớn nhất là \(360{\rm{\;km/h}}\), chỉ mất 11 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Quỹ đạo chuyển động của xe là một đường thẳng. Xe chuyển động với tốc độ \(v\left( t \right)\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) là một hàm số liên tục theo thời gian \(t\) (giây). Trong 3 giây đầu tiên, xe có tốc độ \(v\left( t \right) = 4{t^2}\left( {0 \le t \le 3} \right)\). Từ giây thứ 3 đến giây thứ 11 xe chạy với gia tốc không đổi là \(a\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\).

Giá trị của \(a\) là:

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Vẽ bảng biến thiên của của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 4; - 2} \right)\) rồi dựa vào bảng biến thiên kết luận giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\).

Lời giải

Xét các hàm số \(h\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right|\) và \(u\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m\).

Ta có hàm số \(u\left( x \right)\) và \(h\left( x \right)\) có cùng số điểm cực trị.

Đồ thị hàm số \(h\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right|\) như sau:

​

Từ đó suy ra hàm số \(u\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m\) cũng có 5 điểm cực trị.

Dựa vào xét dấu đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) ở đề bài,suy ra \(f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị là \(x = 4\) và \(x = 5\).

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m} \right)\)

Vì \(u\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m\) có 5 điểm cực trị nên phương trình  có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt.

Do đó, để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m} \right)\) có ít nhất 7 điểm cực trị thì phương trình \(f'\left( {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m} \right) = 0\) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của (1).

Ta có

\(f'\left( {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m = 4}\\{\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 4 - m}\\{\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 5 - m}\end{array}} \right.\) (2)

Để (2) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của (1) thì \(5 - m > 0 \Leftrightarrow m < 5\).

Mà \(m\) là số nguyên dương nên có 4 giá trị của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.