Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1; - 3; - 4} \right)\) và \(B\left( { - 2;1;2} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 2\). Giá trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) là

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Trong không gian, cho ba điểm \(A,B,C\) bất kỳ. Khi đó \(\left| {AB - AC} \right| \le BC\). Dấu đẳng thức xảy ra khi:

\(C\) nằm giữa \(A\) và \(B\) nếu \(AB \ge AC\).

\(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\) nếu \(AB < AC\).

Lời giải

Hai điểm \(A\) và \(B\) có cao độ trái dấu nên chúng nằm về hai phía của mặt phẳng (\(Oxy\)). Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Ta có \(A'\left( {1; - 3;4} \right)\) và \(AM = A'M\).

Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) và \(B\) lên mặt phẳng (\(Oxy\)).

Ta có \(E\left( {1; - 3;0} \right);F\left( { - 2;1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {EF} = \left( { - 3;4;0} \right) \Rightarrow EF = 5\).

Gọi \(K\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BK} = \overrightarrow {NM} \). Khi đó \(BN = KM\) nên \(\left| {AM - BN} \right| = \left| {A'M - KM} \right| \le A'K\). Dấu đẳng thức xảy ra khi \(K\) nằm giữa giữa A’ và M.

Do \(BK//MN\) nên \(BK//\left( {Oxy} \right)\) và \(BK = MN = 2\) nên \(K\) thuộc đường tròn \(\left( {B;2} \right)\) chứa trong mặt phẳng qua \(B\), song song với mặt phẳng (\(Oxy\)).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) trên \(A'E\). Ta có \(A'H = 4 - 2 = 2;A'B = \sqrt {29} \);\(HB = \sqrt {29 - 4} = 5\).

\(A'K = \sqrt {A'{H^2} + H{K^2}} \le \sqrt {{2^2} + {{(HB + BK)}^2}} = \sqrt {4 + {{(5 + 2)}^2}} = \sqrt {53} \).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(B\) nằm giữa \(H\) và \(K\).

Do đó \(\left| {AM - BN} \right| \le A'K \le \sqrt {53} \).

Vậy giá trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) là \(\sqrt {53} \).