Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng chéo nhau là \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\) lần lượt có phương trình: \({{\rm{\Delta }}_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{2};\,\,{{\rm{\Delta }}_2}:\frac{x}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\). Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường vuông góc chung của \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\). Phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) là

 

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) vuông góc với các vectơ chỉ phương của \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\) nên \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{{\rm{\Delta }}_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{{\rm{\Delta }}_2}}}} } \right]\)

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {{u_{{{\rm{\Delta }}_1}}}} = \left( {1; - 1;2} \right);\overrightarrow {{u_{{{\rm{\Delta }}_2}}}} = \left( {3; - 1;3} \right)\).

\({\rm{\Delta }}\) là đường vuông góc chung của \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\) nên vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) vuông góc với các vectơ chỉ phương của \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\). Do đó \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{{\rm{\Delta }}_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{{\rm{\Delta }}_2}}}} } \right] = \left( { - 1;3;2} \right)\).

Gọi (P) là mặt phẳng chứa \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({\rm{\Delta }}\). Khi đó \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{{\rm{\Delta }}_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} } \right] = \left( { - 8; - 4;2} \right)\). Chọn \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {4;2; - 1} \right)\).

Lấy điểm \(M\left( {1;3;2} \right) \in {{\rm{\Delta }}_1} \Rightarrow M\left( {1;3;2} \right) \in \left( P \right)\).

Do đó, phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

\(4\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 3} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 2y - z - 8 = 0\).

Gọi \(N\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\). Suy ra \(N\left( {3; - 1;2} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(N\left( {3; - 1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( { - 1;3;2} \right)\) là

\({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{2}\).