Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 4\) các điểm \(A\left( {1;2;4} \right);B\left( {0;0;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + 3 = 0\) đi qua \(A,B\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức \(T = a + b + c\).

    

Đáp án đúng là \({\bf{A}}\)

Phương pháp giải

Cho đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I tại hai điểm phân biệt. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi nhỏ nhất khi \(\left( P \right)\) vuông góc với \(IH\), trong đó \(H\) là hình chiếu của I trên \(d\).

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;1;0} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Ta có \({(1 + 1)^2} + {(2 - 1)^2} + {4^2} > 4\) nên \(A\left( {1;2;4} \right)\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\);

\({(0 + 1)^2} + {(0 - 1)^2} + {1^2} < 4\) nên \(B\left( {0;0;1} \right)\) nằm trong mặt cầu (\(S\)). Do đó, đường thẳng \(AB\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt.

Để mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A,B\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi nhỏ nhất thì \(\left( P \right)\) vuông góc với \(IH\), trong đó \(H\) là hình chiếu của I trên đường thẳng \(AB\).

Khi đó \(\left( P \right)\) chứa \(AB\) và vuông góc với mặt phẳng (\(IAB\))

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2; - 3} \right);\overrightarrow {IA} = \left( {2;1;4} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{\left( {IAB} \right)}}} = \left( { - 5; - 2;3} \right)\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2; - 3} \right)}\\{\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( {IAB} \right)}}} = \left( { - 5; - 2;3} \right)}\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( { - 12;18; - 8} \right)} \right.\).

Chọn \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {6; - 9;4} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {6; - 9;4} \right)\) và đi qua \(B\left( {0;0;1} \right)\) nên (\(P\)) có phương trình: \(\left( P \right):6x - 9y + 4\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 9y + 4z - 4 = 0 \Leftrightarrow - \frac{9}{2}x + \frac{{27}}{4}y - 3z + 3 = 0\)

Do đó \(a = - \frac{9}{2};b = \frac{{27}}{4};c = - 3\). Vậy \(T = a + b + c = - \frac{9}{2} + \frac{{27}}{4} - 3 = - \frac{3}{4}\).