Trong một buổi tiệc, bốn cặp vợ chồng nọ đã ăn trái cây cùng với nhau. Số quả cam mà các cô vợ \(A,B,C,D\) ăn lần lượt là \(3,2,4,1\). Số quả cam các anh chồng \(M,N,P\),\(Q\) ăn lần lượt bằng, gấp đôi, gấp ba, gấp bốn số quả cam mà các cô vợ của mình đã ăn. Biết tổng số quả cam mà bốn cặp vợ chồng này ăn là 32, hỏi ai là vợ của anh \(P\)?

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Giải phương trình nghiệm nguyên.

Lời giải

Gọi \(x,y,z,t\) lần lượt là số quả cam mà các cô vợ của \(M,N,P,Q\) đã ăn.

Ta có \(x,y,z,t \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\) và \(x,y,z,t\) khác nhau đôi một, do đó \(x + y + z + t = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\).

Vì số quả cam các anh chồng \(M,N,P,Q\) ăn lần lượt bằng, gấp đôi, gấp ba, gấp bốn số quả cam mà các cô vợ của mình đã ăn và tổng số quả cam mà bốn cặp vợ chồng này ăn là 32 nên ta có phương trình: \(x + y + z + t + x + 2y + 3z + 4t = 32 \Leftrightarrow 20 + y + 2z + 3t = 32 \Leftrightarrow y + 2z + 3t = 12\).

Vì \(2z\) và 12 là các số chẵn nên \(y + 3t\) phải là số chẵn. Do đó \(y\) và \(t\) cùng tính chẵn, lẻ.

Ta có \(y,z,t \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\) và \(y,z,t\) khác nhau đôi một.

Nếu \(t = 4\) thì \(y + 2z + 3.4 = 12 \Rightarrow y + 2z = 0\) (vô lý).

Nếu \(t = 3\) thì \(y = 1\), khi đó \(1 + 2z + 3.3 = 12 \Rightarrow z = 1\) (vô lý vì \(z = y\)).

Nếu \(t = 1\) thì \(y = 3\), khi đó \(3 + 2z + 3.1 = 12 \Rightarrow z = 3\) (vô lý vì \(z = y\)).

Nếu \(t = 2\) thì \(y = 4\), khi đó \(4 + 2z + 3.2 = 12 \Rightarrow z = 1\) (nhận).