Từ các chữ số 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau?

a) Số cách xếp 8 học sinh theo một hàng dọc: \({P_8} = 8! = 40320\) (cách).

b) Gọi \(X\) là nhóm 3 học sinh nữ, \(Y\) là nhọ́m 5 học sinh nam.

Số cách xếp trong \(X:3!\); số cách xếp trong \(Y\): 5!.

Số cách hoán đổi X, Y: 2!.

Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài: \(3!5!2! = 1440\) (cách).

c) Gọi \(X\) là nhóm 3 học sinh nữ. Khi ấy số cách xếp trong \(X\): 3!.

Số cách xếp nhóm \(X\) với 5 học sinh nam (ta xem có 6 đơn vị): 6!

Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài: \(3!6! = 4320\) (cách).

d) Sắp xếp trước cho 5 nam sinh, số cách hình vẽ): \(C_6^3\) (cách).

Sắp xếp 3 nữ sinh vào 3 vị trí vừa được chọn: 3 ! (cách).

Vậy số cách xếp hàng thỏa mãn là: \(5!C_6^33! = 14400\).

Lưu ý: Việc chọn 3 vị trí tì 6 vị trí để sắp xếp 3 nữ sinh vào có thể đươc thực hiện gộp bởi công thức \(A_6^3\). Khi đó số cách xếp thỏa mãn là \(5!A_6^3\).

Để đi đến vị trí cuốn sách, chú kiến cần bước 9 bước gồm 4 bước đi lên và 5 bước đi sang phải. Số cách chọn 4 bước đi lên và 5 bước đi sang phải chính là số cách chọn 4 bước đi lên trong dãy 9 bước cần di chuyển. Do đó, số cách chú kiến có thể chọn để đi đến vị trí cuốn sách là: \(C_9^4 = 126\) (cách).