Cho \(n\) là các số tự nhiên. Tính: \(T = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 +  \ldots  + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n\).

Đặt \({(1 - 2x)^5} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \ldots  + {a_5}{x^5}\).

Cho \(x = 1\) ta có tổng các hệ số \({a_0} + {a_1} + {a_2} +  \ldots  + {a_5} = {(1 - 2)^5} =  - 1\).

Số tiền (cả vốn lẫn lãi) mà bác An nhận được sau 1 năm là: \(200000000 + 7\%  \cdot 200000000 = 200000000 \cdot \left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right){\rm{ }}\)(đồng)

Số tiền (cả vốn lẫn lãi) mà bác An nhận được sau 2 năm là: \(\left[ {200000000 \cdot \left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right)} \right] + 7\%  \cdot \left[ {200000000 \cdot \left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right)} \right] = 200000000 \cdot {\left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right)^2}\)(đồng)

Từ đó suy ra số tiền (cả vốn lẫn lãi) mà bác An nhận được sau 5 năm là:

\(200000000 \cdot {\left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right)^5}\)(đồng)

Vì \({\left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right)^5} \approx {1^5} + 5 \cdot {1^4} \cdot \frac{7}{{100}} + 10 \cdot {1^3} \cdot {\left( {\frac{7}{{100}}} \right)^2} = 1,399\) nên số tiền mà bác An nhận được sau 5 năm gửi ngân hàng khoảng: \(200000000 \cdot 1,399 = 279800000\)(đồng)