Kết quả \((b;c)\) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó \(b\) là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, \(c\) là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình bậc hai \({x^2} + bx + c = 0\). Tính xác suất để phương trình trên có nghiệm.

a) Ta có số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = C_{10}^2 = 45\).

Gọi \(A\): "2 người được chọn không có nữ" thì \(A\): "2 người được chọn đều là nam".

Ta có \(n(A) = C_7^2 = 21\). Vậy \(P(A) = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}\).

b) Gọi \(B\): "2 người được chọn là nữ".

Ta có \(n(B) = C_3^2 = 3\).

Vậy \(P(B) = \frac{3}{{45}} = \frac{1}{{15}}\).

c) Số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega ) = C_{10}^2\).

Gọi biến cố \(D\): "Hai người được chọn có ít nhất một người nữ".

\( \Rightarrow \bar D\): "Hai người được chọn không có nữ" \( \Rightarrow n(\bar D) = C_7^2\).

Vậy xác suất cần tìm là: \(P(D) = 1 - P(\bar D) = 1 - \frac{{n(\Omega )}}{{n(\bar D)}} = 1 - \frac{{C_7^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}}\).

a) Phép thử chọn ngẫu nhiên ba quả cầu.

Ta có \(n(\Omega ) = C_{10}^3 = 120\).

Gọi \(A\) là biến cố rút "Được ba quả toàn màu xanh".

\(\begin{array}{l} \Rightarrow n(A) = C_4^3 = 4.\\ \Rightarrow P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{{30}}.\end{array}\)

b) Gọi \(B\) là biến cố "được hai quả xanh, một quả trắng".

\(\begin{array}{l} \Rightarrow n(B) = C_4^2 \cdot C_6^1 = 36.\\ \Rightarrow P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{36}}{{120}} = \frac{3}{{10}}.\end{array}\)

c) Gọi \(C\) là biến cố "Rút được ba qua cầu cùng màu".

Trường hợp 1: Rút được 3 màu xanh \(C_4^3 = 4\).

Trường hợp 2: Rút được 3 màu trắng \(C_6^3 = 20\).

\(\begin{array}{*{20}{l}}{n(C)}&{ = 4 + 20 = 24.}\\ \Rightarrow &{P(C) = \frac{{n(C)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{24}}{{120}} = \frac{1}{5}.}\end{array}\)

d) Gọi \(D\) là biến cố "lấy được có ít nhất 1 quả màu trắng".

Gọi \(\bar D\) là biến cố "lấy 3 quả cầu không có quả cầu trắng"

Ta có: \(n(\bar D) = C_4^3\).

Nên số cách chọn có ít nhất 1 quả cầu đỏ là \(n(D) = C_{10}^3 - C_4^3\).

Xác xuất cần tìm: \(P(D) = \frac{{C_{10}^3 - C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{{29}}{{30}}\).