Sắp xếp ngẫu nhiên 5 viên bi đỏ và 3 viên vi xanh trên rãnh nằm ngang (biết rằng tất cả viên bi đều khác nhau về bán kính). Tính xác suất để:

Các viên bi cùng màu luôn đứng cạnh nhau.

a) Ta có số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = C_{10}^2 = 45\).

Gọi \(A\): "2 người được chọn không có nữ" thì \(A\): "2 người được chọn đều là nam".

Ta có \(n(A) = C_7^2 = 21\). Vậy \(P(A) = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}\).

b) Gọi \(B\): "2 người được chọn là nữ".

Ta có \(n(B) = C_3^2 = 3\).

Vậy \(P(B) = \frac{3}{{45}} = \frac{1}{{15}}\).

c) Số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega ) = C_{10}^2\).

Gọi biến cố \(D\): "Hai người được chọn có ít nhất một người nữ".

\( \Rightarrow \bar D\): "Hai người được chọn không có nữ" \( \Rightarrow n(\bar D) = C_7^2\).

Vậy xác suất cần tìm là: \(P(D) = 1 - P(\bar D) = 1 - \frac{{n(\Omega )}}{{n(\bar D)}} = 1 - \frac{{C_7^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}}\).

a) Phép thử chọn ngẫu nhiên ba quả cầu.

Ta có \(n(\Omega ) = C_{10}^3 = 120\).

Gọi \(A\) là biến cố rút "Được ba quả toàn màu xanh".

\(\begin{array}{l} \Rightarrow n(A) = C_4^3 = 4.\\ \Rightarrow P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{{30}}.\end{array}\)

b) Gọi \(B\) là biến cố "được hai quả xanh, một quả trắng".

\(\begin{array}{l} \Rightarrow n(B) = C_4^2 \cdot C_6^1 = 36.\\ \Rightarrow P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{36}}{{120}} = \frac{3}{{10}}.\end{array}\)

c) Gọi \(C\) là biến cố "Rút được ba qua cầu cùng màu".

Trường hợp 1: Rút được 3 màu xanh \(C_4^3 = 4\).

Trường hợp 2: Rút được 3 màu trắng \(C_6^3 = 20\).

\(\begin{array}{*{20}{l}}{n(C)}&{ = 4 + 20 = 24.}\\ \Rightarrow &{P(C) = \frac{{n(C)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{24}}{{120}} = \frac{1}{5}.}\end{array}\)

d) Gọi \(D\) là biến cố "lấy được có ít nhất 1 quả màu trắng".

Gọi \(\bar D\) là biến cố "lấy 3 quả cầu không có quả cầu trắng"

Ta có: \(n(\bar D) = C_4^3\).

Nên số cách chọn có ít nhất 1 quả cầu đỏ là \(n(D) = C_{10}^3 - C_4^3\).

Xác xuất cần tìm: \(P(D) = \frac{{C_{10}^3 - C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{{29}}{{30}}\).