Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 4z + m - 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z + m + 12 = 0\). Có bao nhiêu số tự nhiên \(m\) để không tồn tại điểm \(K\) nào thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) mà qua \(K\) kẻ được đường thẳng (\(d\)) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(\overrightarrow {KA} .\overrightarrow {KB} = 18\)?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là D
Phương pháp giải
Sử dụng điều kiện để mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( T \right)\) không giao nhau, đó là \({d_{\left[ {J,\left( P \right)} \right]}} > {R_{\left( T \right)}}\), trong đó \(J,{R_{\left( T \right)}}\) lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu \(\left( T \right)\).
Lời giải
Ta có
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 4z + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 7\)
Điều kiện để \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 4z + m - 1 = 0\) là phương trình mặt cầu là \(7 - m > 0 \Leftrightarrow m < 7\).
Khi đó mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 1; - 1;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {7 - m} \).
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\).
Ta có
\(\overrightarrow {KA} .\overrightarrow {KB} = 18 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {KH} + \overrightarrow {HA} } \right)\left( {\overrightarrow {KH} - \overrightarrow {HA} } \right) = 18 \Leftrightarrow K{H^2} - H{A^2} = 18 \Leftrightarrow K{H^2} - \left( {{R^2} - H{I^2}} \right) = 18\)
\( \Leftrightarrow K{H^2} + H{I^2} - \left( {7 - m} \right) = 18 \Leftrightarrow K{I^2} = 25 - m\).
Do đó \(K\) thuộc mặt cầu \(\left( T \right)\) tâm \(I\left( { - 1; - 1;2} \right)\), bán kính \(\sqrt {25 - m} \).
Để không tồn tại điểm \(K\) nào thuộc \(\left( P \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \(\left( T \right)\) và \(\left( P \right)\) không giao nhau.
Khi đó
\({d_{\left[ {I,\left( P \right)} \right]}} > KI \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1 + 2.\left( { - 1} \right) + 2 + m + 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} > \sqrt {25 - m} \Leftrightarrow \frac{{{{(m + 11)}^2}}}{6} > 25 - m\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 28m - 29 > 0 \Leftrightarrow m > 1 \vee m < - 29\)
Mà \(m\) là số tự nhiên, kết hợp với \(m < 7\) nên \(m \in \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}\). Vậy có 5 giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là "28/3"
Phương pháp giải
Để tính thể tích bê tông làm tường cong theo đề bài, ta cần tính diện tích tam giác cong \(ACE\) rồi nhân với \(AB\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) (\(f\left( x \right),g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right])\) là: .
Lời giải
Đặt hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(O \equiv C,Oy \equiv CE\), tia \(Ox\) là tia đối của tia \(CA\) như hình vẽ.
Gọi \(N\) là giao điểm của đường cong \(AE\) và đường thẳng qua \(M\), song song với \(CE\).
Do cạnh cong \(AE\) nằm trên một đường Parabol nên phương trình cạnh cong \(AE\) có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\). Cạnh \(AE\) đi qua các điểm \(A\left( { - 4;0} \right);E\left( {0;3} \right);N\left( { - 2;1} \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{16a - 4b + c = 0}\\{c = 3}\\{4a - 2b + c = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{8}}\\{b = \frac{5}{4}}\\{c = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Do đó cạnh cong \(AE\) có phương trình \(y = \frac{1}{8}{x^2} + \frac{5}{4}x + 3\).
Ta có \({S_{ACE}} = \int\limits_{ - 4}^0 {\left( {\frac{1}{8}{x^2} + \frac{5}{4}x + 3} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{1}{{24}}{x^3} + \frac{5}{8}{x^2} + 3x} \right)} \right|_{ - 4}^0 = \frac{{14}}{3}\).
Thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đã cho là:
\(V = {S_{ACE}}.h = \frac{{14}}{3}.2 = \frac{{28}}{3}\).
Câu 2
Lời giải
Đáp án đúng là C
Phương pháp giải
Dựa vào lí thuyết về Đồng bằng sông Hồng.
Lời giải
- Ngành dịch vụ ở Đồng bằng sông Hồng ngày càng phát triển mạnh chủ yếu do
+ Kinh tế phát triển nhanh, sản xuất phát triển: cơ sở hạ tầng, cơ sở vật chất kĩ thuật được đầu tư; phát triển đầy đủ các ngành dịch vụ để đáp ứng nhu cầu khách hàng;...
+ Dân số đông, mức sống dân cư ngày càng cao: làm tăng nhu cầu sử dụng dịch vụ => kích thích sản xuất và tạo ra nhiều loại hình dịch vụ.
- A sai vì Đông Nam Bộ mới là vùng thu hút vốn đầu tư nước ngoài nhiều nhất cả nước.
- B, D sai vì thiếu yếu tố kinh tế phát triển – một trong những yếu tố tiền đề để thúc đẩy phát triển ngành dịch vụ. Hơn nữa, dân trí nâng cao không phải là nguyên nhân chủ yếu.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập