Cho lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) đáy là hình thoi có cạnh bằng \(a\), \(\widehat {BAD} = 120^\circ \). Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}a\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\).    

Ta có: \({f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = 3\,\,\,\left( 1 \right)}\\{f\left( x \right) = 1\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\).

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

(1) có nghiệm \({x_1} = a > 1\) (nghiệm đơn) và \({x_2} =  - 1\) (nghiệm kép)

\( \Rightarrow f\left( x \right) - 3 = k\left( {x - a} \right){(x + 1)^2}(k > 0)\)

(2) có nghiệm ba nghiệm đơn \({x_1},{x_2},{x_3}\) với \({x_1} = b <  - 1 < {x_2} = 0 < 1 < {x_3} = c{\rm{\;}}(a > c)\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) - 1 = k\left( {x - b} \right)x\left( {x - c} \right)(k > 0)\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {a;b;0;1;c} \right\}\)

Vì \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) + 3}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left[ {f\left( x \right) - 3} \right]\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]}} = \frac{{x - 1}}{{{k^2}x\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}\)

Nên .

\( \Rightarrow \)Đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(y = 0\) làm tiệm cận ngang.

Tại các điểm \(x = a,x = b,x = 0,x = c\) mẫu của \(g\left( x \right)\) nhận giá trị bằng 0 còn tử nhận các giá trị khác 0.

Và do hàm số xác định trên \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {a;b;0;1;c} \right\}\) nên giới hạn một bên của hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại các điểm \(x = a,x = b,x = 0,x = c\) là các giới hạn vô cực.

Do đó, đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 4 tiệm cận đứng: \(x = a,x = b,x = 0\) và \(x = c\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 5 đường tiệm cận:

\(1{\rm{\;}}\) tiệm cận ngang: \(y = 0\) và 4 tiệm cận đứng \(x = a,x = b,x = 0,x = c\).

Đáp án cần nhập là: \(5\).

Có \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - \frac{1}{2} - \left( {d{x^2} + ex + 1\,\,} \right)\)

\( = a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \frac{3}{2}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là: \(a\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\).

Dựa vào các hệ số tự do suy ra: \( - 3a =  - \frac{3}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{2}\).

Từ đó suy ra: \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là:

$S=\underset{-3}{\overset{-1}{}}\frac{1}{2}\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)dx-\underset{-1}{\overset{1}{}}\frac{1}{2}\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)dx=2-\left(-2\right)=4$. Chọn C.