Với mọi giá trị của \(a > 0,a \ne 1\), đồ thị hàm số \(y = {a^{x - 2}}\) luôn đi qua điểm cố định \(A\) và đồ thị hàm số \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {4 - x} \right)\) luôn đi qua điểm cố định \(B\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AB\).    

Ta có: \({f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = 3\,\,\,\left( 1 \right)}\\{f\left( x \right) = 1\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\).

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

(1) có nghiệm \({x_1} = a > 1\) (nghiệm đơn) và \({x_2} =  - 1\) (nghiệm kép)

\( \Rightarrow f\left( x \right) - 3 = k\left( {x - a} \right){(x + 1)^2}(k > 0)\)

(2) có nghiệm ba nghiệm đơn \({x_1},{x_2},{x_3}\) với \({x_1} = b <  - 1 < {x_2} = 0 < 1 < {x_3} = c{\rm{\;}}(a > c)\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) - 1 = k\left( {x - b} \right)x\left( {x - c} \right)(k > 0)\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {a;b;0;1;c} \right\}\)

Vì \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) + 3}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left[ {f\left( x \right) - 3} \right]\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]}} = \frac{{x - 1}}{{{k^2}x\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}\)

Nên .

\( \Rightarrow \)Đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(y = 0\) làm tiệm cận ngang.

Tại các điểm \(x = a,x = b,x = 0,x = c\) mẫu của \(g\left( x \right)\) nhận giá trị bằng 0 còn tử nhận các giá trị khác 0.

Và do hàm số xác định trên \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {a;b;0;1;c} \right\}\) nên giới hạn một bên của hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại các điểm \(x = a,x = b,x = 0,x = c\) là các giới hạn vô cực.

Do đó, đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 4 tiệm cận đứng: \(x = a,x = b,x = 0\) và \(x = c\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 5 đường tiệm cận:

\(1{\rm{\;}}\) tiệm cận ngang: \(y = 0\) và 4 tiệm cận đứng \(x = a,x = b,x = 0,x = c\).

Đáp án cần nhập là: \(5\).

Gọi tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(I\left( {x;y;z} \right)\)

Theo bài ra ta có \(C\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), suy ra \(C\left( {x;y;0} \right)\)

Gọi là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), khi đó \(H\left( { - 4;7;0} \right)\) và \(HM = 3\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A{I^2} = B{I^2}}\\{A{I^2} = C{I^2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y + z - 3}\\{{x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2z + 3 = 0}\end{array} \Rightarrow {{(x - 1)}^2} + {y^2} = 4} \right.} \right.\)

Vậy \(C\) thuộc đường tròn có tâm \(I'\left( {1;0;0} \right)\) và bán kính \(r = 2\) và có \(HI' = \sqrt {74} \)

Ta có \(M{C^2} = M{H^2} + H{C^2} = 9 + H{C^2}\).

Khi đó \(MC\) đạt giá trị lớn nhất khi \(HC\) đạt giá trị lớn nhất

Ta có \(HC \le HI' + r = \sqrt {74}  + 2\)

Vậy \(MC\) lớn nhất khi \(MC = \sqrt {9 + H{C^2}}  \approx 11,02\). Chọn B.