Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right),B\left( {1;2;2} \right)\) và \(M\left( { - 4;7;3} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) tại điểm \(C\). Độ dài lớn nhất của đoạn thẳng MC gần với giá trị nào sau đây?

Ta có: \({f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = 3\,\,\,\left( 1 \right)}\\{f\left( x \right) = 1\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\).

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

(1) có nghiệm \({x_1} = a > 1\) (nghiệm đơn) và \({x_2} =  - 1\) (nghiệm kép)

\( \Rightarrow f\left( x \right) - 3 = k\left( {x - a} \right){(x + 1)^2}(k > 0)\)

(2) có nghiệm ba nghiệm đơn \({x_1},{x_2},{x_3}\) với \({x_1} = b <  - 1 < {x_2} = 0 < 1 < {x_3} = c{\rm{\;}}(a > c)\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) - 1 = k\left( {x - b} \right)x\left( {x - c} \right)(k > 0)\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {a;b;0;1;c} \right\}\)

Vì \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) + 3}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left[ {f\left( x \right) - 3} \right]\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]}} = \frac{{x - 1}}{{{k^2}x\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}\)

Nên .

\( \Rightarrow \)Đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(y = 0\) làm tiệm cận ngang.

Tại các điểm \(x = a,x = b,x = 0,x = c\) mẫu của \(g\left( x \right)\) nhận giá trị bằng 0 còn tử nhận các giá trị khác 0.

Và do hàm số xác định trên \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {a;b;0;1;c} \right\}\) nên giới hạn một bên của hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại các điểm \(x = a,x = b,x = 0,x = c\) là các giới hạn vô cực.

Do đó, đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 4 tiệm cận đứng: \(x = a,x = b,x = 0\) và \(x = c\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 5 đường tiệm cận:

\(1{\rm{\;}}\) tiệm cận ngang: \(y = 0\) và 4 tiệm cận đứng \(x = a,x = b,x = 0,x = c\).

Đáp án cần nhập là: \(5\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {a^2} \cdot \cos 60^\circ  = \frac{{{a^2}}}{2}\). Chọn C.