Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{4xy}}{{{x^2} - {y^2}}}\,\,\left( {x \ne \pm y} \right)\) tại \(x = - 1\) và \(y = 2\) là

a) Biến cố \(M\) là biến cố chắc chắn, vì hai số nhỏ nhất ghi trên mỗi quả bóng lấy từ hộp \(A\) và hộp \(B\) lần lượt là 1 và 2 nên tổng các số ghi trên hai quả bóng nhỏ nhất là 3, chắc chắn lớn hơn 2.

Biến cố \(P\) là biến cố không thể, vì chênh lệch lớn nhất giữa hai số lấy được trên mỗi quả bóng từ một hộp là 9, khi hộp \(A\) lấy được số 1 và hộp \(B\) lấy được số 10.

b) Trong 5 quả bóng ở hộp \(A\) ghi các số \(1;\,3;5;7;9\), có 3 số nguyên tố là \(3;5;7\).

Xác suất của biến cố ngẫu nhiên \[Q\] là: \(\frac{3}{5}\).

a) Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta KCE\) có:

\(\widehat {CAE} = \widehat {CKE} = 90^\circ \);

\(EC\) là cạnh chung;

\(\widehat {ACE} = \widehat {KCE}\) (do \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\)).

Do đó \(\Delta ACE = \Delta KCE\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(EA = EK\) và \(CA = CK\) (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó \(CE\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AK\) nên \(CE \bot AK\).

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)

Suy ra \[\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 30^\circ \].

Mặt khác \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ACE} = \widehat {KCE} = 30^\circ \).

\(\Delta BCE\) có \(\widehat {ABC} = \widehat {ECB} = 30^\circ \) nên là tam giác cân tại \(E\).

Suy ra \(EB = EC\) nên \(E\) nằm trên đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(BC\).

Do đó \(d\) đi qua \(E\) và \(d \bot BC\)

Lại có \(EK \bot BC\), suy ra \(EK\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Khi đó \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BK = KC\) và \(BC = 2KC\)

Mà \(AC = KC\) (câu a) nên \(BC = 2AC\).

Xét \(\Delta BKE\) vuông tại \(K\) có \(BE\) là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất của tam giác

Do đó \(BE > BK\) mà \(BK = KC = AC\) nên \(BE > AC\).

c) Giả sử hai đường thẳng \(BD\) và \(AC\) cắt nhau tại \(I\).

Xét \(\Delta IBC\) có hai đường cao \(BA,CD\) cắt nhau tại \(E\) nên \(E\) là trực tâm của tam giác.

Suy ra \(IE \bot BC\).

Mà \(EK \bot BC\) nên ba điểm \(I,E,K\) thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng \(AC,EK,BD\) đồng quy.