Cho \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức và cho hàm đa thức bậc ba \(g\left( x \right) = f\left( {x + 1} \right)\) thỏa mãn \(\left( {x - 1} \right)g'\left( {x + 3} \right) = \left( {x + 1} \right)g'\left( {x + 2} \right)\). Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {2{x^2} - 4x + 5} \right)\) là?

Đáp án đúng là \({\bf{A}}\)

Phương pháp giải

Lời giải

\(g\left( x \right) = f\left( {x + 1} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( {x + 1} \right)\).

\(\left( {x - 1} \right)g'\left( {x + 3} \right) = \left( {x + 1} \right)g'\left( {x + 2} \right)\) hay \(\left( {x - 1} \right)f'\left( {x + 4} \right) = \left( {x + 1} \right)f'\left( {x + 3} \right)\).

\[y = f\left( {2{x^2} - 4x + 5} \right) \Rightarrow y' = (4x - 4).f'\left( {2{x^2} - 4x + 5} \right)\]

\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 4 = 0}\\{f'(2{x^2} - 4x + 5) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{2{x^2} - 4x + 5 = 4}\\{2{x^2} - 4x + 5 = 3}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{2{x^2} - 4x + 1 = 0}\\{2{x^2} - 4x + 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}}\\{x = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}}\\{x = 1}\end{array}} \right.} \right.\]

Vậy hàm số có 3 cực trị.