Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 3)^2} = 16\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 15 = 0\). Gọi \(O\) là tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Xác định tọa độ tâm tọa độ tâm \(O\) và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) và mặt cầu \(\left( {\rm{S}} \right)\)

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 1;3} \right)\) và bán kính \(R = 4\)

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 + 2.3 - 15} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 2 < R = 4\)

\( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn.

Gọi \(O\) là tâm đường tròn giao tuyến \( \Rightarrow O\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - 2t,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ tâm đường tròn giao tuyến là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 2t}\\{x - 2y + 2z - 15 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 2t}\\{9t - 6 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 2t}\\{t = \frac{2}{3}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{5}{3}}\\{y = \frac{{ - 7}}{3}}\\{z = \frac{{13}}{3}}\\{t = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\]

\[ \Rightarrow O\left( {\frac{5}{3};\frac{{ - 7}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\]

Bán kính đường tròn tâm \(O\) là: \(r = \sqrt {{R^2} - d\left( {I;\left( P \right)} \right)} = \sqrt {16 - 4} = 2\sqrt 3 \)