Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh 3, \widehat{ABC}=60° và cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $SB,SD$. Biết góc nhị diện $\left[M,AC,N\right]$ bằng $120°$, tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left(SBD\right)$. (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).

Đáp án: 32,7

Gọi $\overrightarrow{T_A},\overrightarrow{T_B},\overrightarrow{T_C}$ lần lượt là lực căng của các sợi dây $DA,DB,DC$. Gọi $P$ là trọng lượng của vật.

Khi vật ở trạng thái cân bằng, ta có phương trình: $\overrightarrow{T_A}+\overrightarrow{T_B}+\overrightarrow{T_C}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}$

Trọng lực $\overrightarrow{P}$ hướng xuống dưới theo trục $Oz$, nên $\overrightarrow{P}\left(0;0-p\right)$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{DA}=\left(-2;-1;4\right)\Rightarrow DA=\sqrt{21}\\ \overrightarrow{DB}=\left(2;-1;4\right)\Rightarrow DB=\sqrt{21}\\ \overrightarrow{DC}=\left(0;4;4\right)\Rightarrow DC=4\sqrt{2}\end{array}$

Khi đó véc tơ đơn vị ${\overrightarrow{u}}_A$cùng hướng với sợi dây $DA$ được tính bằng cách lấy $\overrightarrow{DA}$ chia cho độ dài của chính nó. Tương tự có các véc tơ đơn vị của các sợi dây là:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{u_A}=\frac{\overrightarrow{DA}}{DA}=\frac{1}{\sqrt{21}}\left(-2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{u_B}=\frac{\overrightarrow{DB}}{DB}=\frac{1}{\sqrt{21}}\left(2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{u_C}=\frac{\overrightarrow{DC}}{DC}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(0;4;4\right)\end{array}$

Mà một vectơ lực có thể được biểu diễn bằng tích của "độ lớn" và "vectơ đơn vị" chỉ hướng của nó, nên có: $$

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{T_A}=\frac{T_A}{DA}=\frac{T_A}{\sqrt{21}}\left(-2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{T_B}=\frac{T_B}{DB}=\frac{T_B}{\sqrt{21}}\left(2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{T_C}=\frac{T_C}{DC}=\frac{T_C}{4\sqrt{2}}\left(0;4;4\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{T}_A=T_B\\ T_C=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{21}}{T}_A\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{T}_A=T_B\\ T_C<T_A\end{array}$

Chứng tỏ dây $DA$ và $DB$ sẽ chịu những lực căng lớn nhất $\Rightarrow T_A=T_B=15\text{}N$

$\Rightarrow T_C=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{21}}.15=\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{21}}$

Vậy$\overrightarrow{T_A}+\overrightarrow{T_B}+\overrightarrow{T_C}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{P}=-\left(\overrightarrow{T_A}+\overrightarrow{T_B}+\overrightarrow{T_C}\right)$

$\Rightarrow -p=-\left(\frac{4.T_A}{\sqrt{21}}+\frac{4.T_B}{\sqrt{21}}+\frac{4.T_C}{4\sqrt{2}}\right)\Rightarrow p=\frac{8.T_A}{\sqrt{21}}+\frac{4.T_C}{4\sqrt{2}}=\frac{8.15}{\sqrt{21}}+\frac{4}{4\sqrt{2}}.\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{21}}=\frac{150}{\sqrt{21}}\approx 32,7$

Vậy trọng lực tối đa của vật là $32,7(N)$.

Đáp án: 5,58

Lượng cà phê xuất khẩu: $Q\left(x\right)=\left(2000x-150\right)-\left(4000-500x\right)=2500x-4150$.

Lợi nhuận trên mỗi kg xuất khẩu là: $10-0,5-x=9,5-x$(USD).

Tổng lợi nhuận từ xuất khẩu: $P\left(x\right)=\left(9,5-x\right)\left(2500x-4150\right)=-2500x^2+27900x-39425$

Để có lượng cà phê xuất khẩu thì $Q\left(x\right)>0\iff 2500x-4150>0\iff x>1,66$

Hơn nữa, lượng cà phê tiêu thụ trong nước phải không âm: $4000-500x\ge 0\iff x\le 8$

Vậy $1,66<x\le 8$.

Vì đồ thị của hàm số $P\left(x\right)$ là một Parabol có bề lõm quay xuống và hoành độ đỉnh $x_I=5,58$ nên hàm số $P\left(x\right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=5,58$.

Suy ra $P\left(x\right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=5,58$(USD).