Câu hỏi:

11/03/2026 1,315

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thoi cạnh 3, $\hat{A B C} = 60 °$ và cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $S B, S D$ . Biết góc nhị diện $[M, A C, N]$ bằng $120 °$ , tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(S B D)$ . (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Liên trường THPT Hà Nội lần 1 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án:

1,06

Đáp án: 1,06

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 3, góc ABC = 60 độ và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SD. Biết (ảnh 1)

Bước 1: Phân tích các thông số của mặt đáy

Đáy $A B C D$ là hình thoi cạnh bằng 3, có góc $\hat{A B C}$ = 60° nên tam giác $A B C$ là tam giác đều cạnh 3.

Suy ra đường chéo $A C = 3$ . Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ , ta có $O$ là trung điểm của $A C$ và $B D$ , đồng thời $A C ⊥ B D$ tại $O$ .

Tính độ dài $A O = \frac{A C}{2} = 1.5$ .

Tính độ dài $B O = A B \cdot s i n (60^{°}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow B D = 3 \sqrt{3}$ .

Bước 2: Sử dụng góc nhị diện để tìm chiều cao SA

Gọi $P, Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M, N$ lên mặt phẳng $(A B C D)$ . Vì $S A ⊥ (A B C D)$ và $M, N$ là trung điểm của $S B, S D$ nên $P, Q$ chính là trung điểm của $A B, A D$ .

Đoạn $M N / / S A$ và $M P = \frac{S A}{2}$ . Gọi $S A = h$ , ta có $M P = N Q = \frac{h}{2}$ .

Từ $P$ , kẻ $P K ⊥ A C$ tại $K$ . Theo định lý ba đường vuông góc, ta có $M K ⊥ A C$ . Do tính chất đối xứng của hình thoi, $Q K ⊥ A C$ và $N K ⊥ A C$ tại cùng điểm $K$ .

Từ đó, góc nhị diện $[M, A C, N]$ chính là góc $\hat{M K N}$ = 120°.

Xét $Δ A B C$ đều, $P$ là trung điểm AB. Độ dài $P K = A P \cdot s i n (60^{°}) = 1.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ . Qua đối xứng, $Q K = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .

Áp dụng định lý Pytago trong $Δ M P K$ vuông tại $P$ :

$M K^{2} = M P^{2} + P K^{2} = \frac{h^{2}}{4} + \frac{27}{16}$

Tương tự, $N K^{2} = \frac{h^{2}}{4} + \frac{27}{16}$ .

Xét đoạn $P Q$ là đường trung bình của $Δ A B D \Rightarrow P Q = \frac{B D}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ . Đoạn $M N$ là đường trung bình của $Δ S B D \Rightarrow M N = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

Áp dụng định lý Cô-sin trong $Δ M K N$ :

$M N^{2} = M K^{2} + N K^{2} - 2 \cdot M K \cdot N K \cdot c o s (\hat{M K N})$

$(\frac{3 \sqrt{3}}{2})^{2} = 2 \cdot M K^{2} - 2 \cdot M K^{2} \cdot (- 0.5) = 3 \cdot M K^{2}$

$\frac{27}{4} = 3 (\frac{h^{2}}{4} + \frac{27}{16})$

$\frac{9}{4} = \frac{h^{2}}{4} + \frac{27}{16} \Rightarrow \frac{h^{2}}{4} = \frac{36}{16} - \frac{27}{16} = \frac{9}{16} \Rightarrow h^{2} = \frac{9}{4} \Rightarrow h = 1.5$

Vậy chiều cao $S A = 1.5$ .

Bước 3: Tính khoảng cách từ C đến (SBD)

Vì $O$ là trung điểm của $A C$ và $O \in (S B D)$ nên khoảng cách từ $C$ đến $(S B D)$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $(S B D)$ : $d (C, (S B D)) = d (A, (S B D))$

Từ $A$ , kẻ $A H ⊥ S O$ tại $H$ .

Ta có $B D ⊥ A O$ và $B D ⊥ S A$ nên $B D ⊥ (S A O) \Rightarrow B D ⊥ A H$ .

Vì $A H ⊥ S O$ và $A H ⊥ B D$ nên $A H ⊥ (S B D)$ . Vậy $d (A, (S B D)) = A H$ .

Xét tam giác vuông SAO vuông tại $A$ với đường cao AH:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A O^{2}} = \frac{1}{1.5^{2}} + \frac{1}{1.5^{2}} = \frac{1}{2.25} + \frac{1}{2.25} = \frac{2}{2.25} = \frac{8}{9}$

$A H^{2} = \frac{9}{8} \Rightarrow A H = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3 \sqrt{2}}{4} \approx 1, 06$ .

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho một bảng ô vuông $3 \times 3$ như hình vẽ. Điền ngẫu nhiên $9$ số thuộc tập hợp $X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}$ vào $9$ ô vuông trong bảng (mỗi ô điền một số khác nhau). Gọi $Y$ là biến cố “mỗi hàng, mỗi cột bất kì trong bảng đều có ít nhất một số lẻ”. Biết xác suất $P (Y) = \frac{a}{b}$ (với $a, b \in ℕ$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó $a + b$ bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án: $43$

Số phần tử không gian mẫu $n (Ω) = A_{10}^{9}$ .

Do tập $X$ có $10$ số, ta chỉ điền $9$ số nên ta có $2$ trường hợp.

- Trường hợp 1: bỏ $1$ số chẵn.

Có $5$ cách để bỏ $1$ số chẵn.

Ta sẽ đếm phần bù: tồn tại $1$ hàng hoặc $1$ cột không có số lẻ, khi đó có ít nhất $1$ hàng hoặc $1$ cột chỉ toàn số chẵn.

+ Do chỉ có $4$ số chẵn nên chỉ có tối đa $1$ hàng hoặc $1$ cột toàn số chẵn.

+ Chọn $1$ hàng hoặc $1$ cột, có $6$ cách.

+ Chọn $3$ số chẵn để điền vào hàng hoặc cột đó, có $A_{4}^{3}$ cách.

+ Điền $6$ số còn lại vào các ô trống, có $6!$ cách.

Số cách điền $9$ số vào bảng là $9!$ cách.

Vậy số cách xếp thỏa ycbt trong trường hợp này là: $5 \cdot (9! - 6 \cdot A_{4}^{3} \cdot 6!)$ .

- Trường hợp 2: bỏ $1$ số lẻ.

Có $5$ cách để bỏ $1$ số lẻ.

Ta sẽ đếm phần bù: tồn tại $1$ hàng hoặc $1$ cột không có số lẻ.

+ Chọn $1$ hàng hoặc $1$ cột bất kì không có số lẻ, có $6$ cách.

+ Điền $4$ số lẻ vào $6$ ô còn lại, có $A_{6}^{4}$ cách.

+ Ta cần trừ đi phần giao nhau, có $1$ hàng và $1$ cột đồng thời không có số lẻ, có $3 \cdot 3 = 9$ cách. Khi đó còn lại đúng $4$ ô, điền $4$ vào có $A_{4}^{4}$ cách.

+ Điền $5$ số chẵn vào $5$ ô trống còn lại có $5!$ cách.

Số cách điền $9$ số vào bảng là $9!$ cách.

Vậy số cách xếp thỏa ycbt trong trường hợp này là: $5 [9! - (6 \cdot A_{6}^{4} - 9 \cdot A_{4}^{4}) \cdot 5!]$ cách.

Xác suất cần tìm là: $P (Y) = \frac{5 \cdot (9! - 6 \cdot A_{4}^{3} \cdot 6!) + 5 [9! - (6 \cdot A_{6}^{4} - 9 \cdot A_{4}^{4}) \cdot 5!]}{A_{10}^{9}} = \frac{15}{28}$ .

Câu 2

Trong không gian $O x y z$ , một vật được treo bằng sợi dây không dãn, mỗi sợi dây có một đầu lần lượt được gắn tại các điểm $A (- 2; - 1; 0), B (2; - 1; 0), C (0; 4; 0)$ , còn đầu dây kia được gắn với vật tại điểm $D (0; 0; - 4)$ như hình vẽ (trong đó mặt phẳng $(O x y)$ song song với mặt đất, trục $O z$ hướng thẳng lên trên). Biết rằng mỗi sợi dây được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là $15 N .$ Để không dây nào bị đứt thì trọng lượng tối đa của vật là bao nhiêu Niutơn? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án: 32,7

Gọi $\vec{T_{A}}, \vec{T_{B}}, \vec{T_{C}}$ lần lượt là lực căng của các sợi dây $D A, D B, D C$ . Gọi $P$ là trọng lượng của vật.

Trong không gian Oxyz, một vật được treo bằng sợi dây không dãn, mỗi sợi dây có một đầu lần lượt được gắn tại các điểm A( - 2; -1 ;0) (ảnh 2)

Khi vật ở trạng thái cân bằng, ta có phương trình: $\vec{T_{A}} + \vec{T_{B}} + \vec{T_{C}} + \vec{P} = \vec{0}$

Trọng lực $\vec{P}$ hướng xuống dưới theo trục $O z$ , nên $\vec{P} (0; 0 - p)$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l} \vec{D A} = (- 2; - 1; 4) \Rightarrow D A = \sqrt{21} \\ \vec{D B} = (2; - 1; 4) \Rightarrow D B = \sqrt{21} \\ \vec{D C} = (0; 4; 4) \Rightarrow D C = 4 \sqrt{2} \end{array}$

Khi đó véc tơ đơn vị ${\vec{u}}_{A}$ cùng hướng với sợi dây $D A$ được tính bằng cách lấy $\vec{D A}$ chia cho độ dài của chính nó. Tương tự có các véc tơ đơn vị của các sợi dây là:

$\begin{array}{l} \vec{u_{A}} = \frac{\vec{D A}}{D A} = \frac{1}{\sqrt{21}} (- 2; - 1; 4) \\ \vec{u_{B}} = \frac{\vec{D B}}{D B} = \frac{1}{\sqrt{21}} (2; - 1; 4) \\ \vec{u_{C}} = \frac{\vec{D C}}{D C} = \frac{1}{4 \sqrt{2}} (0; 4; 4) \end{array}$

Mà một vectơ lực có thể được biểu diễn bằng tích của "độ lớn" và "vectơ đơn vị" chỉ hướng của nó, nên có:

${\begin{array}{l} \vec{T_{A}} = \frac{T_{A}}{D A} = \frac{T_{A}}{\sqrt{21}} (- 2; - 1; 4) \\ \vec{T_{B}} = \frac{T_{B}}{D B} = \frac{T_{B}}{\sqrt{21}} (2; - 1; 4) \\ \vec{T_{C}} = \frac{T_{C}}{D C} = \frac{T_{C}}{4 \sqrt{2}} (0; 4; 4) \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} T_{A} = T_{B} \\ T_{C} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{21}} T_{A} \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} T_{A} = T_{B} \\ T_{C} < T_{A} \end{array}$

Chứng tỏ dây $D A$ và $D B$ sẽ chịu những lực căng lớn nhất $\Rightarrow T_{A} = T_{B} = 15 N$

$\Rightarrow T_{C} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{21}} . 15 = \frac{30 \sqrt{2}}{\sqrt{21}}$

Vậy $\vec{T_{A}} + \vec{T_{B}} + \vec{T_{C}} + \vec{P} = \vec{0} \Rightarrow \vec{P} = - (\vec{T_{A}} + \vec{T_{B}} + \vec{T_{C}})$

$\Rightarrow - p = - (\frac{4 . T_{A}}{\sqrt{21}} + \frac{4 . T_{B}}{\sqrt{21}} + \frac{4 . T_{C}}{4 \sqrt{2}}) \Rightarrow p = \frac{8 . T_{A}}{\sqrt{21}} + \frac{4 . T_{C}}{4 \sqrt{2}} = \frac{8.15}{\sqrt{21}} + \frac{4}{4 \sqrt{2}} . \frac{30 \sqrt{2}}{\sqrt{21}} = \frac{150}{\sqrt{21}} \approx 32, 7$

Vậy trọng lực tối đa của vật là $32, 7 (N)$ .

Câu 3

Một xí nghiệp chế biến cà phê bán trong nước và xuất khẩu ra nước ngoài. Nếu giá sản xuất mỗi kg cà phê là $x$ (USD) thì sản lượng xí nghiệp sản xuất được là $(2000 x - 150)$ (kg) và lượng tiêu thụ trong nước là $(4000 - 500 x)$ (kg). Phần cà phê còn dư sẽ được xuất khẩu với giá cố định $10$ (USD) mỗi kg. Biết rằng với mỗi kg cà phê xuất khẩu thì xí nghiệp phải chịu mức thuế là $0, 5$ (USD). Hỏi giá sản xuất mỗi kg cà phê của xí nghiệp là bao nhiêu để lợi nhuận thu được từ xuất khẩu là lớn nhất?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Để làm công tác cứu nạn ở một ngôi nhà ba tầng có một hàng rào cao $2, 2$ (m) song song và cách bức tường ngôi nhà một khoảng bằng $1, 6$ (m). Người ta dựng một cái thang thẳng có một đầu chạm đất, đầu kia chạm vào bức tường ngôi nhà và thân của thang chạm vào mép trên hàng rào (tham khảo hình vẽ). Chiều dài ngắn nhất của cái thang là bao nhiêu? (đơn vị là mét, làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm, không làm tròn kết quả các phép tính trung gian)

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian với hệ trục toạ độ $O x y z$ cho trước, trong đó xem mặt phẳng $(O x y)$ là mặt đất, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1 k m$ , một ra đa được đặt tại vị trí gốc toạ độ $O$ phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M (500; 200; 10)$ đến điểm $N (300; 800; 10)$ trong $40$ phút.

a. Khoảng cách $M N = 200 \sqrt{10}$ km.

Đúng

Sai

b. Khi đến $N$ máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 8 phút tiếp theo là $Q (a; b; c)$ với $a + b + c = 1030$ .

Đúng

Sai

c. Máy bay chiến đấu khi bay từ $M$ đến $N$ luôn cách mặt đất $10$ km.

Đúng

Sai

d. $\hat{M O N}$ được gọi là góc quét của ra đa khi quan sát máy bay chiến đấu bay từ $M$ đến $N$ . Trong tình huống trên góc quét $\hat{M O N}$ lớn hơn $45 °$ .

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

a. Hàm số $f (x)$ đạt cực đại tại điểm $x = - 1$ .

Đúng

Sai

b. Giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = 26 x - f (x)$ trên đoạn $[0; 4]$ bằng $105$ .

Đúng

Sai

c. Hàm số $f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; 4)$ .

Đúng

Sai

d. $16 a - 8 b + 3 c + d = 11$ .

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý