Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh 3, \widehat{ABC}=60° và cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $SB,SD$. Biết góc nhị diện $\left[M,AC,N\right]$ bằng $120°$, tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left(SBD\right)$. (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).

Đáp án: 1,06

Bước 1: Phân tích các thông số của mặt đáy

Đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng 3, có góc $\widehat{ABC}$ = 60° nên tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh 3.

Suy ra đường chéo $AC=3$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, ta có $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$, đồng thời $AC\perp BD$ tại $O$.

Tính độ dài $AO=\frac{AC}{2}=1.5$.

Tính độ dài $BO=AB\cdot sin(60{}^{°})=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BD=3\sqrt{3}$.

Bước 2: Sử dụng góc nhị diện để tìm chiều cao SA

Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M,N$ lên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$. Vì $SA\perp (ABCD)$ và $M,N$ là trung điểm của $SB,SD$ nên $P,Q$ chính là trung điểm của $AB,AD$.

Đoạn $MN\text{/}\text{/}SA$ và $MP=\frac{SA}{2}$. Gọi $SA=h$, ta có $MP=NQ=\frac{h}{2}$.

Từ $P$, kẻ $PK\perp AC$ tại $K$. Theo định lý ba đường vuông góc, ta có $MK\perp AC$. Do tính chất đối xứng của hình thoi, $QK\perp AC$ và $NK\perp AC$ tại cùng điểm $K$.

Từ đó, góc nhị diện $\left[M,AC,N\right]$ chính là góc $\widehat{MKN}$ = 120°.

Xét $\Delta ABC$ đều, $P$ là trung điểm AB. Độ dài $PK=AP\cdot sin(60{}^{°})=1.5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$. Qua đối xứng, $QK=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta MPK$ vuông tại $P$:

$MK{}^2=MP{}^2+PK{}^2=\frac{h{}^2}{4}+\frac{27}{16}$

Tương tự, $NK{}^2=\frac{h{}^2}{4}+\frac{27}{16}$.

Xét đoạn $PQ$ là đường trung bình của $\Delta ABD\Rightarrow PQ=\frac{BD}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Đoạn $MN$ là đường trung bình của $\Delta SBD\Rightarrow MN=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Áp dụng định lý Cô-sin trong $\Delta MKN$:

$MN{}^2=MK{}^2+NK{}^2-2\cdot MK\cdot NK\cdot cos(\widehat{MKN})$

$\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right){}^2=2\cdot MK{}^2-2\cdot MK{}^2\cdot (-0.5)=3\cdot MK{}^2$

$\frac{27}{4}=3\left(\frac{h^2}{4}+\frac{27}{16}\right)$

$\frac{9}{4}=\frac{h{}^2}{4}+\frac{27}{16}\Rightarrow \frac{h{}^2}{4}=\frac{36}{16}-\frac{27}{16}=\frac{9}{16}\Rightarrow h{}^2=\frac{9}{4}\Rightarrow h=1.5$

Vậy chiều cao $SA=1.5$.

Bước 3: Tính khoảng cách từ C đến (SBD)

Vì $O$ là trung điểm của $AC$ và $O\in (SBD)$ nên khoảng cách từ $C$ đến $(SBD)$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$: $d(C,(SBD))=d(A,(SBD))$

Từ $A$, kẻ $AH\perp SO$ tại $H$.

Ta có $BD\perp AO$ và $BD\perp SA$ nên $BD\perp (SAO)\Rightarrow BD\perp AH$.

Vì $AH\perp SO$ và $AH\perp BD$ nên $AH\perp (SBD)$. Vậy $d(A,(SBD))=AH$.

Xét tam giác vuông SAO vuông tại $A$ với đường cao AH:

$\frac{1}{AH{}^2}=\frac{1}{SA{}^2}+\frac{1}{AO{}^2}=\frac{1}{1.5{}^2}+\frac{1}{1.5{}^2}=\frac{1}{2.25}+\frac{1}{2.25}=\frac{2}{2.25}=\frac{8}{9}$

$AH{}^2=\frac{9}{8}\Rightarrow AH=\frac{3}{\sqrt{8}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}\approx 1,06$.