Để làm công tác cứu nạn ở một ngôi nhà ba tầng có một hàng rào cao 2,2 (m) song song và cách bức tường ngôi nhà một khoảng bằng 1,6 (m). Người ta dựng một cái thang thẳng có một đầu chạm đất, đầu kia chạm vào bức tường ngôi nhà và thân của thang chạm vào mép trên hàng rào (tham khảo hình vẽ). Chiều dài ngắn nhất của cái thang là bao nhiêu? (đơn vị là mét, làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm, không làm tròn kết quả các phép tính trung gian)

Đáp án: 43

Số phần tử không gian mẫu n\left(\Omega \right)=A_{10}^9.

Do tập X có 10 số, ta chỉ điền 9 số nên ta có 2 trường hợp.

- Trường hợp 1: bỏ 1 số chẵn.

Có 5 cách để bỏ 1 số chẵn.

Ta sẽ đếm phần bù: tồn tại 1 hàng hoặc 1 cột không có số lẻ, khi đó có ít nhất 1 hàng hoặc 1 cột chỉ toàn số chẵn.

+ Do chỉ có 4 số chẵn nên chỉ có tối đa 1 hàng hoặc 1 cột toàn số chẵn.

+ Chọn 1 hàng hoặc 1 cột, có 6 cách.

+ Chọn 3 số chẵn để điền vào hàng hoặc cột đó, có A_4^3 cách.

+ Điền 6 số còn lại vào các ô trống, có 6! cách.

Số cách điền 9 số vào bảng là 9! cách.

Vậy số cách xếp thỏa ycbt trong trường hợp này là: 5\cdot \left(9!-6\cdot A_4^3\cdot 6!\right).

- Trường hợp 2: bỏ 1 số lẻ.

Có 5 cách để bỏ 1 số lẻ.

Ta sẽ đếm phần bù: tồn tại 1 hàng hoặc 1 cột không có số lẻ.

+ Chọn 1 hàng hoặc 1 cột bất kì không có số lẻ, có 6 cách.

+ Điền 4 số lẻ vào 6 ô còn lại, có A_6^4 cách.

+ Ta cần trừ đi phần giao nhau, có 1 hàng và 1 cột đồng thời không có số lẻ, có 3\cdot 3=9cách. Khi đó còn lại đúng 4 ô, điền 4 vào có A_4^4 cách.

+ Điền 5 số chẵn vào 5 ô trống còn lại có 5! cách.

Số cách điền 9 số vào bảng là 9! cách.

Vậy số cách xếp thỏa ycbt trong trường hợp này là: 5\left[9!-\left(6\cdot A_6^4-9\cdot A_4^4\right)\cdot 5!\right] cách.

Xác suất cần tìm là: P\left(Y\right)=\frac{5\cdot \left(9!-6\cdot A_4^3\cdot 6!\right)+5\left[9!-\left(6\cdot A_6^4-9\cdot A_4^4\right)\cdot 5!\right]}{A_{10}^9}=\frac{15}{28}.

Đáp án: 32,7

Gọi $\overrightarrow{T_A},\overrightarrow{T_B},\overrightarrow{T_C}$ lần lượt là lực căng của các sợi dây $DA,DB,DC$. Gọi $P$ là trọng lượng của vật.

Khi vật ở trạng thái cân bằng, ta có phương trình: $\overrightarrow{T_A}+\overrightarrow{T_B}+\overrightarrow{T_C}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}$

Trọng lực $\overrightarrow{P}$ hướng xuống dưới theo trục $Oz$, nên $\overrightarrow{P}\left(0;0-p\right)$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{DA}=\left(-2;-1;4\right)\Rightarrow DA=\sqrt{21}\\ \overrightarrow{DB}=\left(2;-1;4\right)\Rightarrow DB=\sqrt{21}\\ \overrightarrow{DC}=\left(0;4;4\right)\Rightarrow DC=4\sqrt{2}\end{array}$

Khi đó véc tơ đơn vị ${\overrightarrow{u}}_A$cùng hướng với sợi dây $DA$ được tính bằng cách lấy $\overrightarrow{DA}$ chia cho độ dài của chính nó. Tương tự có các véc tơ đơn vị của các sợi dây là:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{u_A}=\frac{\overrightarrow{DA}}{DA}=\frac{1}{\sqrt{21}}\left(-2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{u_B}=\frac{\overrightarrow{DB}}{DB}=\frac{1}{\sqrt{21}}\left(2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{u_C}=\frac{\overrightarrow{DC}}{DC}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(0;4;4\right)\end{array}$

Mà một vectơ lực có thể được biểu diễn bằng tích của "độ lớn" và "vectơ đơn vị" chỉ hướng của nó, nên có: $$

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{T_A}=\frac{T_A}{DA}=\frac{T_A}{\sqrt{21}}\left(-2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{T_B}=\frac{T_B}{DB}=\frac{T_B}{\sqrt{21}}\left(2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{T_C}=\frac{T_C}{DC}=\frac{T_C}{4\sqrt{2}}\left(0;4;4\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{T}_A=T_B\\ T_C=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{21}}{T}_A\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{T}_A=T_B\\ T_C<T_A\end{array}$

Chứng tỏ dây $DA$ và $DB$ sẽ chịu những lực căng lớn nhất $\Rightarrow T_A=T_B=15\text{}N$

$\Rightarrow T_C=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{21}}.15=\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{21}}$

Vậy$\overrightarrow{T_A}+\overrightarrow{T_B}+\overrightarrow{T_C}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{P}=-\left(\overrightarrow{T_A}+\overrightarrow{T_B}+\overrightarrow{T_C}\right)$

$\Rightarrow -p=-\left(\frac{4.T_A}{\sqrt{21}}+\frac{4.T_B}{\sqrt{21}}+\frac{4.T_C}{4\sqrt{2}}\right)\Rightarrow p=\frac{8.T_A}{\sqrt{21}}+\frac{4.T_C}{4\sqrt{2}}=\frac{8.15}{\sqrt{21}}+\frac{4}{4\sqrt{2}}.\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{21}}=\frac{150}{\sqrt{21}}\approx 32,7$

Vậy trọng lực tối đa của vật là $32,7(N)$.