Một xí nghiệp chế biến cà phê bán trong nước và xuất khẩu ra nước ngoài. Nếu giá sản xuất mỗi kg cà phê là $x$(USD) thì sản lượng xí nghiệp sản xuất được là $\left(2000x-150\right)$(kg) và lượng tiêu thụ trong nước là $\left(4000-500x\right)$(kg). Phần cà phê còn dư sẽ được xuất khẩu với giá cố định $10$(USD) mỗi kg. Biết rằng với mỗi kg cà phê xuất khẩu thì xí nghiệp phải chịu mức thuế là $0,5$(USD). Hỏi giá sản xuất mỗi kg cà phê của xí nghiệp là bao nhiêu để lợi nhuận thu được từ xuất khẩu là lớn nhất?

Đáp án: 32,7

Gọi $\overrightarrow{T_A},\overrightarrow{T_B},\overrightarrow{T_C}$ lần lượt là lực căng của các sợi dây $DA,DB,DC$. Gọi $P$ là trọng lượng của vật.

Khi vật ở trạng thái cân bằng, ta có phương trình: $\overrightarrow{T_A}+\overrightarrow{T_B}+\overrightarrow{T_C}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}$

Trọng lực $\overrightarrow{P}$ hướng xuống dưới theo trục $Oz$, nên $\overrightarrow{P}\left(0;0-p\right)$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{DA}=\left(-2;-1;4\right)\Rightarrow DA=\sqrt{21}\\ \overrightarrow{DB}=\left(2;-1;4\right)\Rightarrow DB=\sqrt{21}\\ \overrightarrow{DC}=\left(0;4;4\right)\Rightarrow DC=4\sqrt{2}\end{array}$

Khi đó véc tơ đơn vị ${\overrightarrow{u}}_A$cùng hướng với sợi dây $DA$ được tính bằng cách lấy $\overrightarrow{DA}$ chia cho độ dài của chính nó. Tương tự có các véc tơ đơn vị của các sợi dây là:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{u_A}=\frac{\overrightarrow{DA}}{DA}=\frac{1}{\sqrt{21}}\left(-2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{u_B}=\frac{\overrightarrow{DB}}{DB}=\frac{1}{\sqrt{21}}\left(2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{u_C}=\frac{\overrightarrow{DC}}{DC}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(0;4;4\right)\end{array}$

Mà một vectơ lực có thể được biểu diễn bằng tích của "độ lớn" và "vectơ đơn vị" chỉ hướng của nó, nên có: $$

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{T_A}=\frac{T_A}{DA}=\frac{T_A}{\sqrt{21}}\left(-2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{T_B}=\frac{T_B}{DB}=\frac{T_B}{\sqrt{21}}\left(2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{T_C}=\frac{T_C}{DC}=\frac{T_C}{4\sqrt{2}}\left(0;4;4\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{T}_A=T_B\\ T_C=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{21}}{T}_A\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{T}_A=T_B\\ T_C<T_A\end{array}$

Chứng tỏ dây $DA$ và $DB$ sẽ chịu những lực căng lớn nhất $\Rightarrow T_A=T_B=15\text{}N$

$\Rightarrow T_C=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{21}}.15=\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{21}}$

Vậy$\overrightarrow{T_A}+\overrightarrow{T_B}+\overrightarrow{T_C}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{P}=-\left(\overrightarrow{T_A}+\overrightarrow{T_B}+\overrightarrow{T_C}\right)$

$\Rightarrow -p=-\left(\frac{4.T_A}{\sqrt{21}}+\frac{4.T_B}{\sqrt{21}}+\frac{4.T_C}{4\sqrt{2}}\right)\Rightarrow p=\frac{8.T_A}{\sqrt{21}}+\frac{4.T_C}{4\sqrt{2}}=\frac{8.15}{\sqrt{21}}+\frac{4}{4\sqrt{2}}.\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{21}}=\frac{150}{\sqrt{21}}\approx 32,7$

Vậy trọng lực tối đa của vật là $32,7(N)$.

Đáp án: 43

Số phần tử không gian mẫu n\left(\Omega \right)=A_{10}^9.

Do tập X có 10 số, ta chỉ điền 9 số nên ta có 2 trường hợp.

- Trường hợp 1: bỏ 1 số chẵn.

Có 5 cách để bỏ 1 số chẵn.

Ta sẽ đếm phần bù: tồn tại 1 hàng hoặc 1 cột không có số lẻ, khi đó có ít nhất 1 hàng hoặc 1 cột chỉ toàn số chẵn.

+ Do chỉ có 4 số chẵn nên chỉ có tối đa 1 hàng hoặc 1 cột toàn số chẵn.

+ Chọn 1 hàng hoặc 1 cột, có 6 cách.

+ Chọn 3 số chẵn để điền vào hàng hoặc cột đó, có A_4^3 cách.

+ Điền 6 số còn lại vào các ô trống, có 6! cách.

Số cách điền 9 số vào bảng là 9! cách.

Vậy số cách xếp thỏa ycbt trong trường hợp này là: 5\cdot \left(9!-6\cdot A_4^3\cdot 6!\right).

- Trường hợp 2: bỏ 1 số lẻ.

Có 5 cách để bỏ 1 số lẻ.

Ta sẽ đếm phần bù: tồn tại 1 hàng hoặc 1 cột không có số lẻ.

+ Chọn 1 hàng hoặc 1 cột bất kì không có số lẻ, có 6 cách.

+ Điền 4 số lẻ vào 6 ô còn lại, có A_6^4 cách.

+ Ta cần trừ đi phần giao nhau, có 1 hàng và 1 cột đồng thời không có số lẻ, có 3\cdot 3=9cách. Khi đó còn lại đúng 4 ô, điền 4 vào có A_4^4 cách.

+ Điền 5 số chẵn vào 5 ô trống còn lại có 5! cách.

Số cách điền 9 số vào bảng là 9! cách.

Vậy số cách xếp thỏa ycbt trong trường hợp này là: 5\left[9!-\left(6\cdot A_6^4-9\cdot A_4^4\right)\cdot 5!\right] cách.

Xác suất cần tìm là: P\left(Y\right)=\frac{5\cdot \left(9!-6\cdot A_4^3\cdot 6!\right)+5\left[9!-\left(6\cdot A_6^4-9\cdot A_4^4\right)\cdot 5!\right]}{A_{10}^9}=\frac{15}{28}.