Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m > - 50\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 7} }}{{{x^2} + 2x + 2m}}\) có đúng hai đường tiệm cận?

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Áp dụng kiến thức về các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 7}\\{{x^2} + 2x + 2m \ne 0}\end{array}} \right.\)

Ta có  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Hàm số không có tiệm cận xiên.

Suy ra để hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phương trình \({x^2} + 2x + 2m = 0\) có đúng 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -7 (2)

Xét (1): \({x^2} + 2x + 2m = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}{x^2} - x\)

Đặt \(f\left( x \right) = - \frac{1}{2}{x^2} - x\)

Để phương trình \({x^2} + 2x + 2m = 0\) có đúng 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -7 thì đường thẳng \(y = m\) giao đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) tại đúng 1 điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng -7 (2)

Ta có: \(f'\left( x \right) = - x - 1\)

\(f'\left( x \right) = 0{\rm{\;}} \Rightarrow x = - 1\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\):

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (2) \( \Leftrightarrow m \le - 17,5\)

Mà \(m > - 50,m \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 49; - 48; - 47; \ldots ; - 18} \right\}\)

Vậy có \(\frac{{\left( { - 18} \right) - \left( { - 49} \right)}}{1} + 1 = 32\) giá trị \(m\) thỏa mãn ycbt.