Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{9}{x^3}\) là

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng tương giao hai đồ thị hàm số để tìm cực trị hàm hợp

Lời giải

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \frac{1}{3}{x^2}\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^2}\). (1)

Vẽ parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{3}{x^2}\). Ta thấy \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(\left( { - 1;\frac{1}{3}} \right),\left( {0;0} \right),\left( {1;\frac{1}{3}} \right),\left( {2;\frac{4}{3}} \right),\left( {3;3} \right)\).

Parabol này cắt đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) tại các điểm có hoành độ lần lượt là \(a \in \left( { - 1;0} \right),b \in \left( {1;2} \right)\) và \(c \in \left( {2; + \infty } \right)\). Suy ra (1) có các nghiệm là: \(x = a,x = b,x = c\).

Bảng biến thiên của hàm \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{9}{x^3}\) như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có một điểm cực đại.