Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ O x y 𝑂 𝑥 𝑦 là một phần của đồ thị hàm số bậc ba 𝑓 ( 𝑥 ) .

Vị trí điểm cực đại là ( 2 ; 5 ) với đơn vị của hệ trục là 100 m 100 𝑚 và vị trí điểm cực tiểu là ( 0 ; 1 ) . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình y=36 − 9 𝑥 . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Phương pháp giải

Gọi hàm\(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Từ đồ thị xác định a,b,c,d.

Từ đó xác định tiếp tuyến.

Giải chi tiết

Gọi hàm số bậc ba \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c.\)

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \((0;1) \Rightarrow d = 1\).

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(2;5) \Rightarrow 8a + 4b + 2c + 1 = 5\).

Vì hàm số có hai điểm cực trị \(x = 0,\;x = 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'(0) = 0}\\{f'(2) = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{12a + 4b = 0}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{b = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow f(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 1,\qquad f'(x) = - 3{x^2} + 6x.\)

Gọi \(M({x_0};{y_0}),{x_0} > 0\), là điểm nằm trên hòn đảo và nối với mặt đường d

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường.

Suy ra M là tiếp điểm và d có phương trình y=36-9x nên hệ số góc k=-9.

\(f'({x_0}) = - 9 \Leftrightarrow - 3x_0^2 + 6{x_0} = - 9 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 3}\\{{x_0} = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow M(3;1).\)

Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 9x+y-36=0:

\(h = \frac{{|9 \cdot 3 + 1 - 36|}}{{\sqrt {{9^2} + {1^2}} }} \approx 0,883.\)

Vì đơn vị của hệ trục là 100 m nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là 88,3 𝑚 .