Cổng của một trại du lịch sinh thái có dạng parabol, lối ra vào cổng là hình chữ nhật như hình vẽ. Biết rằng, lối đi hình chữ nhật 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 có kích thước 𝐶𝐷 = 2𝑚 , phía ngoài lối đi hình chũ nhật được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí trang trí hoa văn là 4 m 240.000 đồng cho một mét vuông. số tiền để trang trí hoa văn của cổng trại du lịch sinh thái là bao nhiêu triệu đồng?

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ và tính diện tích bằng ứng dụng tích phân.

Giải chi tiết

Xét hệ trục toạ độ như hình vẽ:

Parabol có dạng\(y = a{x^2} + c,a < 0\).

Parabol đi qua các điểm (0;4), (2;0) nên có dạng:\(y = - {x^2} + 4.\)

Ta có \({x_C} = 1\) nên \({y_B} = - {1^2} + 4 = 3.\)

Suy ra hình chữ nhật ABCD có kích thước:

\(CD = 2{\mkern 1mu} {\rm{m}},\qquad BC = 3{\mkern 1mu} {\rm{m}}.\)

Gọi \({S_C}\) là diện tích cổng Parabol.

Khi đó, \({S_C}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

\(y = - {x^2} + 4\), trục hoành và các đường thẳng x=-2, x=2.

Diện tích phần trang trí hoa văn là:

\(S = {S_C} - {S_{ABCD}} = \int_{ - 2}^2 {( - {x^2} + 4)} {\mkern 1mu} dx - 2 \cdot 3 = \frac{{14}}{3}\;({{\rm{m}}^2}).\)

Vậy số tiền cho việc trang trí hoa văn của cổng là:

\(240000 \cdot \frac{{14}}{3} = 1,12\;\)triệu đồng