Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình giới hạn bởi hai Parabol dưới các kích thước được cho trong hình sau (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là cm)

Diện tích loogo bằng bao nhiêu \[c{m^2}\] (không làm tròn kết quả phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng)

Lời giải

Đáp án: 30

Gọi \(x,y\)tương ứng là số cái bàn, cái ghế mà xưởng mộc sản xuất

Theo bài ra, ta có điều kiện của \(x,y\) như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,y \ge 0\\5x + 2y \le 240\\2x + y \le 100\end{array} \right.\,\,\,\,(I)\)

Lợi nhuận xưởng thu được là: \(F(x,y) = 600x + 300y\) (nghìn đồng)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(F(x,y)\) trên miền nghiệm của \((I).\)

Vẽ miền nghiệm của \((I)\)

Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh \(O\left( {0;0} \right),\,\,A\left( {0;100} \right),\,\,B\left( {40;20} \right),\,\,C\left( {48;0} \right).\)

Ta có \(F\left( {0;0} \right) = 0,\,\,F\left( {0;100} \right) = 30000,\,\,F\left( {40;20} \right) = 30000,\,\,F(48;0) = 28800\).

Vậy lợi nhuận lớn nhất mà xưởng mộc có thể thu được là 30 triệu đồng khi sản xuất 100 cái bàn và 0 cái ghế hoặc sản xuất 40 cái bàn và 20 cái ghế.

Lời giải

Đáp án: \(0,31\).

Theo đề bài, ta có 3 loại phần thưởng: Hộp bút bi và Tập vở viết, Hộp bút bi và Bộ dụng cụ vẽ hình, Tập vở viết và Bộ dụng cụ vẽ hình.

Gọi số phần thưởng theo mỗi loại kể trên lần lượt là \(x\), \(y\), \(z\) (phần thưởng) \(\left( {x,\,y,\,z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Vì cô giáo chuẩn bị 8 hộp bút bi, 7 tập vở viết và 5 bộ dụng cụ vẽ hình nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + z = 8\\x + y = 7\\y + z = 5\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.\).

Tổng số cách chia phần thưởng cho Dũng và Nam là \(10\,.\,9 = 90\) (cách).

Có 3 trường hợp để Dũng và Nam có phần thưởng giống nhau:

Trường hợp 1: Dũng và Nam cùng nhận phần thưởng là Hộp bút bi và Tập vở viết.

Có \(5\,.\,4 = 20\) (cách).

Trường hợp 1: Dũng và Nam cùng nhận phần thưởng là Hộp bút bi và Bộ dụng cụ vẽ hình.

Có \(2\,.\,1 = 2\) (cách).

Trường hợp 1: Dũng và Nam cùng nhận phần thưởng là Tập vở viết và Bộ dụng cụ vẽ hình.

Có \(3\,.\,2 = 6\) (cách).

Tổng số cách chia phần thưởng cho Dũng và Nam sao cho hai học sinh có phần thưởng giống nhau là \(20 + 2 + 6 = 28\) (cách).

Vậy xác suất để Dũng và Nam có phần thưởng giống nhau là \(\frac{{28}}{{90}} \approx 0,31\).