Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R là (f'(x) = (x + 3)(x - 4). )Tính tổng các giá trị nguyên của
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải
Sử dụng tương giao đồ thị.
Giải chi tiết
Xét hàm số \(y = f({x^2} - 3x + m)\)
Ta có: \(y' = (2x - 3){\mkern 1mu} f'({x^2} - 3x + m)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3 = 0}\\{f'({x^2} - 3x + m) = 0}\end{array}} \right.\)
Để hàm số \(y = f({x^2} - 3x + m)\)có nhiều cực trị nhất thì phương trình \(f'({x^2} - 3x + m) = 0\)có nhiều nghiệm bội lẻ khác \(\frac{3}{2}\) nhất.
Xét phương trình:
\(f'({x^2} - 3x + m) = 0 \Leftrightarrow ({x^2} - 3x + m + 3)({x^2} - 3x + m - 4) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x = - m - 3}\\{{x^2} - 3x = 4 - m}\end{array}} \right.\)
Xét hàm số \(h(x) = {x^2} - 3x\)
\(h'(x) = 2x - 3,\quad h'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)
Bảng biến thiên hàm số\(h(x) = {x^2} - 3x\).
Để phương trình\(f'({x^2} - 3x + m) = 0\)có nhiều nghiệm bội lẻ nhất thì
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x = - m - 3}\\{{x^2} - 3x = 4 - m}\end{array}} \right.\)có nhiều nghiệm bội lẻ nhất.
Số nghiệm của hai phương trình này là số giao điểm của đồ thị hàm số
\(h(x) = {x^2} - 3x\) và các đường thẳng \(y = - m - 3,\quad y = 4 - m.\)
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(h(x) = {x^2} - 3x\) ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m - 3 > - \frac{9}{4}}\\{4 - m > - \frac{9}{4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < - \frac{3}{4}}\\{m < \frac{{25}}{4}}\end{array}} \right.\)
Mà\(m \in [ - 10;5]\), kết hợp các điều kiện trên suy ra:
\(m \in \left( { - \frac{3}{4};5} \right],\quad m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{ 0,1,2,3,4,5\} .\)
Vậy tổng các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
\(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.\)
Đáp án cần chọn là: B
Mở rộng:
- Công thức tổng quát: Số cực trị của hàm số = số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\).
- Vẽ bảng biến thiên, đếm giao điểm với \(y = m\).
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập