Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f'(x) = (x + 3)(x - 4).\)Tính tổng các giá trị nguyên của tham số \(m \in [ - 10;5]\) để hàm số \(y = f({x^2} - 3x + m)\) có nhiều điểm cực trị nhất.

Phương pháp giải

Sử dụng tương giao đồ thị.

Giải chi tiết

Xét hàm số \(y = f({x^2} - 3x + m)\)

Ta có: \(y' = (2x - 3){\mkern 1mu} f'({x^2} - 3x + m)\)

 \(y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3 = 0}\\{f'({x^2} - 3x + m) = 0}\end{array}} \right.\)

Để hàm số \(y = f({x^2} - 3x + m)\)có nhiều cực trị nhất thì phương trình \(f'({x^2} - 3x + m) = 0\)có nhiều nghiệm bội lẻ khác \(\frac{3}{2}\) nhất.

Xét phương trình:

\(f'({x^2} - 3x + m) = 0 \Leftrightarrow ({x^2} - 3x + m + 3)({x^2} - 3x + m - 4) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x = - m - 3}\\{{x^2} - 3x = 4 - m}\end{array}} \right.\)

Xét hàm số \(h(x) = {x^2} - 3x\)

\(h'(x) = 2x - 3,\quad h'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)

Bảng biến thiên hàm số\(h(x) = {x^2} - 3x\).

Để phương trình\(f'({x^2} - 3x + m) = 0\)có nhiều nghiệm bội lẻ nhất thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x = - m - 3}\\{{x^2} - 3x = 4 - m}\end{array}} \right.\)có nhiều nghiệm bội lẻ nhất.

Số nghiệm của hai phương trình này là số giao điểm của đồ thị hàm số

\(h(x) = {x^2} - 3x\) và các đường thẳng \(y = - m - 3,\quad y = 4 - m.\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(h(x) = {x^2} - 3x\) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m - 3 > - \frac{9}{4}}\\{4 - m > - \frac{9}{4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < - \frac{3}{4}}\\{m < \frac{{25}}{4}}\end{array}} \right.\)

Mà\(m \in [ - 10;5]\), kết hợp các điều kiện trên suy ra:

\(m \in \left( { - \frac{3}{4};5} \right],\quad m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{ 0,1,2,3,4,5\} .\)

Vậy tổng các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

\(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.\)

Đáp án cần chọn là: B